-
Câu hỏi:
Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
\(P = \frac{1}{{\sqrt {1 + 8{a^3}} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + 8{b^3}} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + 8{c^3}} }}\)
Lời giải tham khảo:
Ta có: \(\sqrt {1 + 8{a^3}} = \sqrt {\left( {1 + 2a} \right)\left( {1 - 2a + 4{a^2}} \right)} \mathop \le \limits^{AM - GM} \frac{{1 + 2a + 1 - 2a + 4{a^2}}}{2} = 1 + 2{a^2}\)
Tương tự vai trò cho \(\sqrt {1 + 8{b^3}} \,\,và \,\,\sqrt {1 + 8{c^3}} \) ta được \(P \ge \frac{1}{{1 + 2{a^2}}} + \frac{1}{{1 + 2{b^2}}} + \frac{1}{{1 + 2{c^2}}}\)
Mặt khác \(\frac{1}{{1 + 2{a^2}}} = \frac{1}{{1 + 2{a^2}}} + \frac{{1 + 2{a^2}}}{9} - \frac{{1 + 2{a^2}}}{9}\mathop \ge \limits^{Cauchy} 2\sqrt {\frac{1}{{1 + 2{a^2}}}.\frac{{1 + 2{a^2}}}{9}} - \frac{2}{9}{a^2} - \frac{1}{9} = \frac{{5 - 2{a^2}}}{9}\)
khi đó \(P \ge \frac{{5 - 2{a^2}}}{9} + \frac{{5 - 2{b^2}}}{9} + \frac{{5 - 2{c^2}}}{9} = \frac{{15 - 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}{9} = \frac{{15 - 2.3}}{9} = 1\)
Vậy Min P = 1
Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^2} + {b^2} + {c^2} = 3\\
1 + 2a = 1 - 2a + 4{a^2}\\
\frac{1}{{1 + 2{a^2}}} = \frac{{1 + 2{a^2}}}{9}
\end{array} \right.\) và vai trò a, b, c như nhau hay (a; bl c) = (1;1; 1)
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng
CÂU HỎI KHÁC
- Nếu a > b, c > d thì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng?
- Các giá trị của tham số m để bất phương trình \(\left( {{m^2} - 1} \right)x + m \ge 0\) có nghiệm là:
- Tập hợp nghiệm của bất phương trình \(\frac{{1 - 2x}}{{4x + 8}} \ge 0\) là:
- Tập hợp nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 6x + 5 \le 0}\\{{x^2} - 8x + 12 < 0}\end{array}
- Các giá trị của tham số m để bất phương trình \(m{x^2} - 2mx - 1 \ge 0\) vô nghiệm là:
- Khi thống kê điểm môn Toán trong một kỳ thi của 200 em học sinh thì thấy có 36 bài được điểm bằng 5.
- Chọn hệ thức sai trong các hệ thức sau:
- Cho \(\sin \alpha = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\) với \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\).
- Nếu \({\mathop{\rm sinx}\nolimits} + \cos x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\) thì giá trị của sin2x là:
- Trong mặt phẳng tọa đọ Oxy, cho ba đường thẳng (d1): 3x - 4y + 7 = 0. (d2): 5x + y + 4 = 0 và (d3): mx + (1-m)y + 3 = 0.
- Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(-1; 3), B(4;-1). Phương trình nào sau đây là phương trình đường thẳng AB
- Một elip có diện tích hình chữ nhật cơ sở là 80, độ dài tiêu cự là 6. Tâm sai của elip đó là:
- Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A(1; -1),B(3; 4). Giả sử (d) là một đường thẳng bất kỳ luôn đi qua B.
- Trên mặt phẳng Oxy, gọi (d) là đường thẳng đi qua A(1; 1) và tạo với đường thẳng có phương trình x - 3y +2 = 0 một gó
- Trên mặt phẳng Oxy, cho các điểm A(3; 0), B(0; 4). Đường tròn nội tiếp tam giác OAB có phương trình là:
- Trên mặt phẳng Oxy, cho điểm P(-3; -2) và đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 3
- a) Giải bất phương trình sau trên tập số thực: \(|2x + 1| + 2 \ge 4x\)b) Giải hệ bất phương trình sau trên tập s
- a) Chứng minh đẳng thức \(\frac{{\cos 2x}}{{1 - \sin 2x}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}} + \frac{{2\tan x}}{{1 - {{\tan }^2}x}}
- Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai đường tròn (C1), (C2) có phương trình lần lượt là \({\left( {x + 1}
- Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = 3.
