Cho \(a\), \(b\) là hai số thực dương thỏa mãn \({\log _5}\left( {\dfrac{{4a + 2b + 5}}{{a + b}}} \right) = a + 3b - 4\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T = {a^2} + {b^2}\)

Ta có: \({\log _5}\left( {\dfrac{{4a + 2b + 5}}{{a + b}}} \right) = a + 3b - 4 \Leftrightarrow {\log _5}\left( {\dfrac{{4a + 2b + 5}}{{5a + 5b}}} \right) = a + 3b - 5\)

\( \Leftrightarrow {\log _5}\left( {4a + 2b + 5} \right) - {\log _5}\left( {5a + 5b} \right) = a + 3b - 5\)

\( \Leftrightarrow {\log _5}\left( {4a + 2b + 5} \right) + 4a + 2b + 5 = {\log _5}\left( {5a + 5b} \right) + 5a + 5b\) (1)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _5}t + t,\,\,\left( {t > 0} \right)\) có \(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t\ln 5}} + 1 > 0,\,\,\forall t > 0\).

\( \Rightarrow \) Hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow f\left( {4a + 2b + 5} \right) = f\left( {5a + 5b} \right)\, \Leftrightarrow 4a + 2b + 5 = 5a + 5b \Leftrightarrow a + 3b = 5\)

Với \(a,b > 0,\,\,a + 3b = 5\) ta có:

\(T = {a^2} + {b^2} = \dfrac{1}{{10}}.\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{1^2} + {3^2}} \right) \ge \dfrac{1}{{10}}.{\left( {a.1 + b.3} \right)^2} = \dfrac{1}{{10}}{.5^2} = \dfrac{5}{2}\)

\( \Rightarrow {T_{\min }} = \dfrac{5}{2}\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}a,b > 0\\a + 3b = 5\\\dfrac{a}{1} = \dfrac{b}{3}\end{array} \right.\,\,\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{2}\\b = \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\).

Chọn: D