Tổng hợp các kiến thức quan trọng về Giới hạn Toán 11

TỔNG HỢP CÁC KIẾN THỨC QUAN TRỌNG VỀ GIỚI HẠN TOÁN 11

I. Giới hạn hữu hạn của dãy số

1. Định nghĩa

Định nghĩa 1: Ta nói rằng dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn là 0 khi n dần đến dương vô cực và viết \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 0\) viết tắt là \(\lim {u_n} = 0\) hoặc \({u_n} \to 0\), nếu mọi số hạng của dãy số đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Định nghĩa 2: Ta nói rằng dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn là số thực a khi n dần đến dương vô cực và viết \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a\), viết tắt là \(\lim {u_n} = a\) hoặc \({u_n} \to a\), nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} - a} \right) = 0\)

2. Một vài giới hạn đặc biệt

a) \(\lim \frac{1}{n} = 0\); \(\lim \frac{1}{{{n^k}}} = 0\) với k nguyên dương
b) \(\lim {q^n} = 0\) nếu |q| < 1
c) Nếu u_n = c (c là hằng số) thì \(\lim {u_n} = \lim c = c\)

II. Định lý về giới hạn hữu hạn

Định lý 1:

a) Nếu \(\lim {u_n} = a\), \(\lim {v_n} = b\) thì

\(\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = a + b\)

\(\lim \left( {{u_n} - {v_n}} \right) = a - b\)

\(\lim \left( {{u_n}{v_n}} \right) = a.b\)

\(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{a}{b}\) (nếu b khác 0 )

b) Nếu \({u_n} \ge 0\) với mọi n và \(\lim {u_n} = a\) thì \(a \ge 0\) và \(\lim \sqrt {{u_n}} = \sqrt a \)

III. Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn

Cấp số nhân vô hạn \({u_1},{u_2},{u_3},.......{u_n},.......\) có công bội q với |q| < 1 gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Tổng S của cấp số nhân đó là: \(S = {u_1} + {u_1}q + {u_1}{q^2} + ... = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\).

IV. Giới hạn vô cực

1. Định nghĩa:

- Ta nói dãy số (u_n) có giới hạn \(+ \infty \) nếu với mỗi số dương tùy ý, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó. Khi đó ta viết \(\lim \left( {{u_n}} \right) = + \infty \) hoặc \(\lim ({u_n}) = + \infty \) hoặc \({u_n} \to + \infty \)
- Ta nói dãy số (un) có giới hạn \(- \infty \) nếu với mỗi số âm tùy ý, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm đó.

Khi đó ta viết \(\lim \left( {{u_n}} \right) = - \infty \) hoặc \(\lim {u_n} = - \infty \) hoặc \({u_n} \to - \infty \)

2. Một vài giới hạn đặc biệt:

\(\lim {n^k} = + \infty \) với k nguyên dương
\(\lim {q^n} = + \infty \) nếu q > 1

3. Định lý 2:

Nếu \(\lim {u_n} = a\) và \(\lim {v_n} = \pm \infty \) thì \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = 0\)
Nếu \(\lim {u_n} = a > 0\), \(\lim {v_n} = 0\) và \({v_n} > 0\) với mọi n thì \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = + \infty \)
Nếu \(\lim {u_n} = + \infty \) và \(\lim {v_n} = a > 0\) thì \(\lim \left( {{u_n}{v_n}} \right) = + \infty \)

V. Một số lưu ý:

Khi làm bài tập trắc nghiệm, ta có thể làm như bài tập tự luận, sau khi tính toán sẽ chọn kết quả phù hợp với yêu cầu  của bài toán

Ngoài ra có thể sử dụng các nhận xét để có kết quả nhanh chóng, chính xác hơn. Có một số bài tập có thể nhận xét nhanh để loại trừ được những phương án không phù hợp

1. Định lý:

a) Giả sử \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = M\). Khi đó:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = L + M\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right] = L - M\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right] = L.M\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{L}{M}\) (nếu M khác 0)

b) Nếu \(f\left( x \right) \ge 0\) với mọi \(x \in J\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\), trong đó J là một khoảng nào đó chứa x₀ thì \(L \ge 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt L \)

2. Một vài giới hạn đặc biệt

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^k} = + \infty \) với k nguyên dương
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^k} = - \infty \) nếu k là số lẻ
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^k} = + \infty \) nếu k là số chẵn

2. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực

Định lý về giới hạn của tích và thương hai hàm số chỉ áp dụng được khi các hàm số có giới hạn hữu hạn

Sau đây là một số quy tắc tính giới hạn của tích và thương hai hàm số khi một trong hai hàm số có giới hạn vô cực.

Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L \ne 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = \pm \infty \) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right]\) bằng \( \pm \infty \) (dấu “+” nếu hai giới hạn cùng dấu và dấu “- “ nếu hai giới hạn khác dấu.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = 0\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{g\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = \pm \infty \) (dấu “+” nếu hai giới hạn cùng dấu và dấu “-“ nếu hai giới hạn khác dấu.

Các quy tắc trên vẫn được áp dụng cho các trường hợp: \(x \to x_0^ + \), \(x \to x_0^ - \), \(x \to + \infty \) và \(x \to - \infty \)

1. Hàm số liên tục tại một điểm

Định nghĩa: Giả sử hàm số f(x) xác định trên khoảng K và \({x_0} \in K\). Hàm số y = f(x) gọi là liên tục tại x = x₀ nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\)

Hàm số không liên tục tại x = x₀ gọi là gián đoạn tại x0

2. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn

Hàm số y = f(x) liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm trên khoảng đó. Hàm số y = f(x) gọi là liên tục trên đoạn [a;b] nếu nó liên tục trên khoảng (a;b) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) = f\left( a \right)\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f\left( x \right) = f\left( b \right)\)

3. Một số định lý cơ bản

Định lý 1. Hàm số đa thức liên tục trên tập R. Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) và các hàm số lượng giác y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x là những hàm số liên tục trên tập xác định của chúng

Định lý 2. Giả sử y = f(x) và y = g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm x₀. Khi đó:

a) Các hàm số \(y = f\left( x \right) + g\left( x \right)\), \(y = f\left( x \right) - g\left( x \right)\) và \(y = f\left( x \right).g\left( x \right)\) liên tục tại điểm x0
b) Hàm số \(y = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\) liên tục tại x0 nếu \(g\left( {{x_0}} \right) \ne 0\)

Định lý 3. Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và \(f\left( a \right).f\left( b \right) < 0\) thì tồn tại ít nhất một điểm \(c \in \left( {a;b} \right)\) sao cho f(c) = 0

{-- Để xem nội dung đề từ câu 16-26 và đáp án của tài liệu các em vui lòng xem ở phần xem online hoặc tải về --}

Trên đây là trích dẫn một phần nội dung tài liệu 75 bài tập trắc nghiệm về Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn Toán 10 có đáp án chi tiết. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Chúc các em học tốt! 

{-- Để xem nội dung đầu đủ của tài liệu các em vui lòng xem ở phần xem online hoặc tải về --}

Trên đây là toàn bộ nội dung tài liệu Tổng hợp các kiến thức quan trọng về Giới hạn Toán 11. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Chúc các em học tốt!