Một số dạng phương trình lượng giác không mẫu mực

Biến đổi phương trình đã cho về dạng \({A_1} + {A_2} + ... + {A_n} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {A_1} = 0\\ {A_2} = 0\\ ...\\ {A_n} = 0 \end{array} \right.\) trong đó \({{A}_{1}}\ge 0,{{A}_{2}}\ge 0,...,{{A}_{n}}\ge 0\)

\(\sin ax.\sin bx = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \sin ax = 1\\ \sin bx = 1 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} \sin ax = - 1\\ \sin bx = - 1 \end{array} \right. \end{array} \right.\)

\(\sin ax.\sin bx = - 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \sin ax = 1\\ \sin bx = - 1 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} \sin ax = - 1\\ \sin bx = 1 \end{array} \right. \end{array} \right.\)

Cách giải tương tự cho các dạng: \(\cos ax.\cos bx=1,\cos ax.\cos bx=-1\), \(\sin ax.\cos bx=1\), \(\sin ax.\cos bx=-1\)

Ví dụ: Giải phương trình \({{\left( \tan x+\cot x \right)}^{2}}-\tan x-\cot x=2\).

A. Cả 3 đáp án. 

B. \(x=\frac{\pm \pi }{4}+k\pi ,\,\,k\in \mathbb{Z}\).    

C. \(x=\frac{\pi }{6}+k\pi ,\,\,k\in \mathbb{Z}\).  

D. \(x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,\,\,k\in \mathbb{Z}\).

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Lưu ý: Đối với câu hỏi này, ta có thể chọn cách thử nghiệm.

Điều kiện \(x\ne \frac{k\pi }{2}\,\left( k\in \mathbb{Z} \right)\). Đặt \(t=\tan x+\cot x\), phương trình đã cho trở thành

\({{t}^{2}}-t-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=-1 \\ & t=2 \\ \end{align} \right.\)

+ Với \(t=-1\). Suy ra:

\(\tan x+\cot x=-1\Leftrightarrow {{\tan }^{2}}x+\tan x+1=0\) (vô nghiệm).

+ Với \(t=2\). Suy ra:

 \(\tan x+\cot x=2\Leftrightarrow {{\tan }^{2}}x-2\tan x+1=0\Leftrightarrow \tan x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi \,\left( k\in \mathbb{Z} \right)\).

Câu 1: Giải phương trình \(\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}}+\sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}}=\frac{4}{\sqrt{3}}\) với \(x\in \left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\).

A. \(x=\frac{\pi }{12}\).    

B. \(x=\frac{\pi }{4}\).      

C. \(x=\frac{\pi }{3}\).      

D. \(x=\frac{\pi }{6}\).

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

\(\text{pt}\Leftrightarrow \frac{1+\sin x+1-\sin x}{\sqrt{1-{{\sin }^{2}}x}}=\frac{4}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow \frac{2}{\cos x}=\frac{4}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow \cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{12}+k\pi \).

Do \(x\in \left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\) nên \(x=\frac{\pi }{12}\).

Câu 2: Giải phương trình \(\frac{{{\sin }^{10}}x+{{\cos }^{10}}x}{4}=\frac{{{\sin }^{6}}x+{{\cos }^{6}}x}{4{{\cos }^{2}}2x+{{\sin }^{2}}2x}\).

A. \(x=k2\pi ,x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \), \(k\in \mathbb{Z}\). 

B. \(x=\frac{k\pi }{2}\), \(k\in \mathbb{Z}\).

C. \(x=\frac{\pi }{2}+k\pi \), \(k\in \mathbb{Z}\).          

D. \(x=k\pi ,x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \), \(k\in \mathbb{Z}\).

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Điều kiện: \(4{{\cos }^{2}}2x+{{\sin }^{2}}2x\ne 0\Leftrightarrow 4{{\cos }^{2}}2x+1-{{\cos }^{2}}2x\ne 0\Leftrightarrow 3{{\cos }^{2}}2x+1\ne 0\Leftrightarrow \forall x\in \mathbb{R}\)

\(PT\Leftrightarrow \frac{{{\sin }^{10}}x+{{\cos }^{10}}x}{4}=\frac{\left( {{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x \right)\left( {{\sin }^{4}}x-{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x+{{\cos }^{4}}x \right)}{4\left( 1-{{\sin }^{2}}2x \right)+{{\sin }^{2}}2x}\)

\(\Leftrightarrow \frac{{{\sin }^{10}}x+{{\cos }^{10}}x}{4}=\frac{{{\left( {{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x \right)}^{2}}-3{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x}{4-3{{\sin }^{2}}2x}\)

\(\Leftrightarrow \frac{{{\sin }^{10}}x+{{\cos }^{10}}x}{4}=\frac{1-\frac{3}{4}{{\sin }^{2}}2x}{4-3{{\sin }^{2}}2x}\Leftrightarrow \frac{{{\sin }^{10}}x+{{\cos }^{10}}x}{4}=\frac{4-3{{\sin }^{2}}2x}{4\left( 4-3{{\sin }^{2}}2x \right)}\)

\(\Leftrightarrow {{\sin }^{10}}x+{{\cos }^{10}}x=1\Leftrightarrow {{\sin }^{10}}x+{{\cos }^{10}}x={{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x\)

\(\Leftrightarrow {{\sin }^{2}}x\left( 1-{{\sin }^{8}}x \right)+{{\cos }^{2}}x\left( 1-{{\cos }^{8}}x \right)=0\quad (*)\)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l} {\sin ^2}x\left( {1 - {{\sin }^8}x} \right) \ge 0\forall x \in R\\ {\cos ^2}x\left( {1 - {{\cos }^8}x} \right) \ge 0\forall x \in R \end{array} \right.\) nên \((*) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\sin ^2}x\left( {1 - {{\sin }^8}x} \right) = 0\\ {\cos ^2}x\left( {1 - {{\cos }^8}x} \right) = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} \sin x = 0\\ \sin x = \pm 1 \end{array} \right.\\ \left[ \begin{array}{l} \cos x = 0\\ \cos x = \pm 1 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{2}\)

Câu 3: Cho phương trình: \(4co{{s}^{2}}x+{{\cot }^{2}}x+6=2\left( 2\cos x-\cot x \right)\). Hỏi có bao nhiều nghiệm \(x\) thuộc vào khoảng \((0;2\pi )\)?

A. 3.  

B. 2.  

C. 1.

D. 0.

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Ta có : \(4co{{s}^{2}}x+{{\cot }^{2}}x+6=2\left( 2\cos x-\cot x \right)\)

\(\Leftrightarrow 4{{\cos }^{2}}x-4\cos x+1+{{\cot }^{2}}x+2\cot x+1+4=0\)

\(\Leftrightarrow {{\left( 2\cos x-1 \right)}^{2}}+{{\left( \cot x+1 \right)}^{2}}+4=0\)

Do \({{\left( 2\cos x-1 \right)}^{2}}\ge 0_{{}}^{{}}\forall x\in \mathbb{R}\),\({{\left( \cot x+1 \right)}^{2}}\ge 0_{{}}^{{}}\forall x\in \mathbb{R}\) \(\Rightarrow {{\left( 2\cos x-1 \right)}^{2}}+{{\left( \cot x+1 \right)}^{2}}+4>0_{{}}^{{}}\forall x\in \mathbb{R}\)

Câu 4: Cho phương trình: \(4{{\cos }^{2}}x+{{\cot }^{2}}x+6=2\sqrt{3}\left( 2\cos x-\cot x \right)\). Hỏi có bao nhiều nghiệm x thuộc vào khoảng \((0;2\pi )\)?

A. 3.

B. 2.  

C. 1.  

D. đáp số khác.

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Ta có : \(4{{\cos }^{2}}x+{{\cot }^{2}}x+6=2\sqrt{3}\left( 2\cos x-\cot x \right)\)

\(\Leftrightarrow \left( 4{{\cos }^{2}}x-4\sqrt{3}\cos x+3 \right)+\left( {{\cot }^{2}}x-2\sqrt{3}\cot x+3 \right)=0\)

\(\Leftrightarrow {{\left( 2\cos x-\sqrt{3} \right)}^{2}}+{{\left( \cot x-\sqrt{3} \right)}^{2}}=0\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2\cos x - \sqrt 3 = 0}\\ {\cot x - \sqrt 3 = 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \pm \frac{\pi }{6} + k2\pi }\\ {x = \frac{\pi }{6} + k'\pi } \end{array}} \right.\) \(\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{6}+l2\pi \) \(\left( l\in \mathbb{Z} \right)\)

Vì \(x\in \left( 0;2\pi  \right)\Rightarrow 0<\frac{\pi }{6}+l2\pi <2\pi \Leftrightarrow -\frac{1}{12}<l<\frac{11}{12}\Rightarrow l=0\)

Câu 5: Phương trình: \(\sin 3x\left( \cos x-2\sin 3x \right)+\cos 3x\left( 1+\sin x-2\cos 3x \right)=0\) có nghiệm là:

A. \(x=\frac{\pi }{2}+k\pi \).     

B. \(x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}\).             

C. \(x=\frac{\pi }{3}+k2\pi \).    

D. Vô nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Chọn D

\(\sin 3x\left( \cos x-2\sin 3x \right)+\cos 3x\left( 1+\sin x-2\cos 3x \right)=0\)

\(\Leftrightarrow \sin 3x.\cos x-2{{\sin }^{2}}3x+\cos 3x+\cos 3x.\sin x-2{{\cos }^{2}}3x=0\).

\(\Leftrightarrow \left( \sin 3x.\cos x+\cos 3x.\sin x \right)+\cos 3x-2\left( {{\sin }^{2}}3x+{{\cos }^{2}}3x \right)=0\).

\(\Leftrightarrow \sin 4x+\cos 3x=2\).

Do \(\left\{ \begin{array}{l} - 1 \le \sin 4x \le 1\\ - 1 \le \cos 3x \le 1 \end{array} \right.\), nên \(\sin 4x+\cos 3x\le 2\).

Dấu  xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sin 4x = 1\\ \cos 3x = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\ 3x = l2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{2}\\ x = \frac{{l2\pi }}{3} \end{array} \right.\), \(k,\,l\,\in \mathbb{Z}\).

Ta có \(\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2}=\frac{l2\pi }{3}\,\left( \forall k,l\in \mathbb{Z} \right)\Leftrightarrow l=\frac{3+12k}{16}\) vô lý do \(l=\frac{3+12k}{16}\notin \mathbb{Z}\).

Nên phương trình đã cho vô nghiệm.

Câu 6: Giải phương trình \(cos\frac{4x}{3}=co{{s}^{2}}x\).

A. \(\left[ \begin{array}{l} x = k3\pi \\ x = \pm \frac{\pi }{4} + k3\pi \\ x = \pm \frac{{5\pi }}{4} + k3\pi \end{array} \right.\).        

B. \(\left[ \begin{array}{l} x = k\pi \\ x = \pm \frac{\pi }{4} + k\pi \\ x = \pm \frac{{5\pi }}{4} + k\pi \end{array} \right.\).          

C. \(\left[ \begin{array}{l} x = k3\pi \\ x = \pm \frac{\pi }{4} + k3\pi \end{array} \right.\).          

D. \(\left[ \begin{array}{l} x = k3\pi \\ x = \pm \frac{{5\pi }}{4} + k3\pi \end{array} \right.\).

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

\(cos\frac{4x}{3}=co{{s}^{2}}x\Leftrightarrow cos\frac{4x}{3}=\frac{1+cos2x}{2}\Leftrightarrow 2cos2.\frac{2x}{3}=1+cos3.\frac{2x}{3}\)

\(\Leftrightarrow 2\left[ 2co{{s}^{2}}\frac{2x}{3}-1 \right]=1+4co{{s}^{3}}\frac{2x}{3}-3cos\frac{2x}{3}\Leftrightarrow 4co{{s}^{3}}\frac{2x}{3}-4co{{s}^{2}}\frac{2x}{3}-3cos\frac{2x}{3}+3=0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} cos\frac{{2x}}{3} = 1\\ cos\frac{{2x}}{3} = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2} \end{array} \right.\left[ \begin{array}{l} \frac{{2x}}{3} = k2\pi \\ \frac{{2x}}{3} = \pm \frac{\pi }{6} + k2\pi \\ \frac{{2x}}{3} = \pm \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = k3\pi \\ x = \pm \frac{\pi }{4} + k3\pi \\ x = \pm \frac{{5\pi }}{4} + k3\pi \end{array} \right.\).

Câu 7: Để phương trình: \({{2}^{{{\sin }^{2}}x}}+{{2}^{{{\cos }^{2}}x}}=m\) có nghiệm, thì các giá trị cần tìm của tham số m là:

A. \(1\le m\le \sqrt{2}\).    

B. \(\sqrt{2}\le m\le 2\sqrt{2}\).

C. \(2\sqrt{2}\le m\le 3\).       

D. \(3\le m\le 4\).

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Phương trình tương đương \({{2}^{{{\sin }^{2}}x}}+{{2}^{1-{{\sin }^{2}}x}}=m\Leftrightarrow {{2}^{{{\sin }^{2}}x}}+\frac{2}{{{2}^{{{\sin }^{2}}x}}}=m\)

Đặt \(t={{2}^{{{\sin }^{2}}x}},\,\,t\in \left[ 1;2 \right]\text{  do}\,\,0\le {{\sin }^{2}}x\le 1\).

Xét hàm \(f\left( t \right)=t+\frac{2}{t},\,\,t\in \left[ 1;2 \right]\Rightarrow {f}'\left( t \right)=1-\frac{2}{{{t}^{2}}};\,\,{f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=\sqrt{2}\)

Bảng biến thiên

Vậy phương trình \(f\left( t \right)=m\) có nghiệm \(\Leftrightarrow 2\sqrt{2}\le m\le 3\).

...

---(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Một số dạng phương trình lượng giác không mẫu mực. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Phương trình bậc hai và quy về bậc hai với một hàm số lượng giác

• Phương pháp giải phương trình đối xứng với sin và cos

Chúc các em học tập tốt!