Phương pháp giải phương trình đối xứng với sin và cos

Dạng 1: Là phương trình có dạng:

\(a(\sin x+\cos x)+b\sin x\cos x+c=0\) (3)

Để giải phương trình trên ta sử dụng phép đặt ẩn phụ

Đặt: \(t\,\,=\,\,\cos x\,\,+\,\sin x\,\,=\,\,\sqrt{2}.\cos \left( x+\frac{\pi }{4} \right);\,\,\,\left| t \right|\,\,\le \,\,\sqrt{2}.\)

\(\Rightarrow \,\,{{t}^{2}}\,\,=\,\,1+2\sin x.\cos x\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\sin x.\cos x\,\,=\,\,\frac{1}{2}({{t}^{2}}-1).\)

Thay và (3) ta được phương trình bậc hai theo t.

Ngoài ra chúng ta còn gặp phương trình phản đối xứng có dạng \(a(\sin x-\cos x)+b\sin x\cos x+c=0\) (3’)

Để giải phương trình này ta cũng đặt \(t = \sin x - \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} t \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\\ \sin x\cos x = \frac{{1 - {t^2}}}{2} \end{array} \right.\)

Thay vào (3’) ta có được phương trình bậc hai theo t.

Lưu ý:

· \(\cos x+\sin x\,\,=\,\,\sqrt{2}\cos \left( x-\frac{\pi }{4} \right)\,\,=\,\,\sqrt{2}\sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right)\)

· \(\cos x-\sin x\,\,=\,\,\sqrt{2}\cos \left( x+\frac{\pi }{4} \right)\,\,=\,\,-\sqrt{2}\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right)\)

Dạng 2: a.|sinx ± cosx| + b.sinx.cosx + c = 0

· Đặt: \(t\,\,=\,\,\left| \cos x\,\,\pm \,\,\sin x \right|\,\,=\,\,\sqrt{2}.\left| \cos \left( x\mp \frac{\pi }{4} \right) \right|;\,\,\tilde{N}k:\,\,0\,\,\le \,\,t\,\,\le \,\,\sqrt{2}.\)

     \(\Rightarrow \,\,\,\sin x.\cos x\,\,\,=\,\,\pm \frac{1}{2}({{t}^{2}}-1).\)

· Tương tự dạng trên. Khi tìm x cần lưu ý phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Ví dụ: Phương trình \(\sin x+\cos x=1-\frac{1}{2}\sin 2x\) có nghiệm là:

A. \(\left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2}\\ x = k\frac{\pi }{4} \end{array} \right.\), \(k\in \mathbb{Z}\).    

B. \(\left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{8} + k\pi \\ x = k\frac{\pi }{2} \end{array} \right.\), \(k\in \mathbb{Z}\).

C. \(\left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\ x = k\pi \end{array} \right.\), \(k\in \mathbb{Z}\). 

D. \(\left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\ x = k2\pi \end{array} \right.\), \(k\in \mathbb{Z}\).

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Đặt \(\sin x+\cos x=t,\left( \left| t \right|\le \sqrt{2} \right)\Rightarrow 1+\sin 2x={{t}^{2}}\Rightarrow \sin 2x={{t}^{2}}-1\)

Ta có phương trình \(t = 1 - \frac{1}{2}\left( {{t^2} - 1} \right) \Leftrightarrow {t^2} + 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 1\left( {TM} \right)\\ t = - 3\left( {KTM} \right) \end{array} \right.\)

\(t=1\Rightarrow \sin x+\cos x=1\Leftrightarrow \sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow \sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right)=\sin \frac{\pi }{4}\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\ x + \frac{\pi }{4} = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = k2\pi \\ x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\)

Câu 1: Phương trình \(2\sin 2x-3\sqrt{6}\left| \sin x+\cos x \right|+8=0\) có nghiệm là

A. \(\left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{3} + k\pi \\ x = \frac{{5\pi }}{3} + k\pi \end{array} \right.\), \(k\in \mathbb{Z}\). 

B. \(\left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\ x = 5\pi + k\pi \end{array} \right.\), \(k\in \mathbb{Z}\).

C. \(\left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{6} + k\pi \\ x = \frac{{5\pi }}{4} + k\pi \end{array} \right.\), \(k\in \mathbb{Z}\). 

D. \(\left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\ x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k\pi \end{array} \right.\), \(k\in \mathbb{Z}\).

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Đặt \(t=\left| \sin x+\cos x \right|=\sqrt{2}\left| \sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right) \right|,\left( 0\le t\le \sqrt{2} \right)\Rightarrow 1+\sin 2x={{t}^{2}}\Rightarrow \sin 2x={{t}^{2}}-1\)

Ta có \(2\left( {{t^2} - 1} \right) - 3\sqrt 6 t + 8 = 0 \Leftrightarrow 2{t^2} - 3\sqrt 6 t + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = \sqrt 6 \left( {KTM} \right)\\ t = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\left( {TM} \right) \end{array} \right.\).

\(t = \frac{{\sqrt 6 }}{2} \Rightarrow \left| {\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)} \right| = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \frac{\pi }{3}\\ \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( { - \frac{\pi }{3}} \right) \end{array} \right.\).

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\ x + \frac{\pi }{4} = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\ x + \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \\ x + \frac{\pi }{4} = \frac{{4\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \\ x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi \\ x = - \frac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi \\ x = \frac{{13\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\ x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k\pi \end{array} \right.\)

Câu 2: Phương trình \({{\sin }^{3}}x+{{\cos }^{3}}x=1-\frac{1}{2}\sin 2x\)có nghiệm là:

A. \(\left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\ x = k\pi \end{array} \right.\), \(k\in \mathbb{Z}\).  

B. \(\left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\ x = k2\pi \end{array} \right.\), \(k\in \mathbb{Z}\).

C. \(\left[ \begin{array}{l} x = \frac{{3\pi }}{4} + k\pi \\ x = k\frac{\pi }{2} \end{array} \right.\), \(k\in \mathbb{Z}\). 

D. \(\left[ \begin{array}{l} x = \frac{{3\pi }}{2} + k\pi \\ x = \left( {2k + 1} \right)\pi \end{array} \right.\), \(k\in \mathbb{Z}\).

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

\({{\sin }^{3}}x+{{\cos }^{3}}x=1-\frac{1}{2}\sin 2x\Leftrightarrow {{\left( \sin x+\cos x \right)}^{3}}-3\sin x\cos x\left( \sin x+\cos x \right)=1-\sin x\cos x\)

Đặt \(t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right),\left( \left| t \right|\le \sqrt{2} \right)\Rightarrow 1+\sin 2x={{t}^{2}}\Rightarrow \sin x\cos x=\frac{{{t}^{2}}-1}{2}\)

Ta có phương trình

\(t=1\Rightarrow \sin x+\cos x=1\Leftrightarrow \sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow \sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right)=\sin \frac{\pi }{4}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\ x + \frac{\pi }{4} = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = k2\pi \\ x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\)

Câu 3: Giải phương trình \(2\sin 2x-\left( \sin x+\cos x \right)+1=0\)

A. \(x=k\pi ,x=\frac{\pi }{2}+k\pi \) hoặc \(x=\frac{\pi }{4}\pm \arccos \left( -\frac{1}{2\sqrt{2}} \right)+k\pi \)    

B. \(x=k\frac{1}{3}\pi ,x=\frac{\pi }{2}+k\frac{1}{3}\pi \) hoặc \(x=\frac{\pi }{4}\pm \arccos \left( -\frac{1}{2\sqrt{2}} \right)+k\frac{1}{3}\pi \)

C. \(x=k\frac{2}{3}\pi ,x=\frac{\pi }{2}+k\frac{2}{3}\pi \) hoặc \(x=\frac{\pi }{4}\pm \arccos \left( -\frac{1}{2\sqrt{2}} \right)+k\frac{2}{3}\pi \)

D. \(x=k2\pi ,x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \) hoặc \(x=\frac{\pi }{4}\pm \arccos \left( -\frac{1}{2\sqrt{2}} \right)+k2\pi \)

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Đặt \(t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\cos \left( x-\frac{\pi }{4} \right)\Rightarrow \left\{ \begin{align} & \left| t \right|\le \sqrt{2} \\ & \sin 2x={{t}^{2}}-1 \\ \end{align} \right.\)

Ta có : \(2({{t}^{2}}-1)-t+1=0\Leftrightarrow 2{{t}^{2}}-t-1=0\Leftrightarrow t=1,t=-\frac{1}{2}\)

\(\bullet \) \(t=1\Leftrightarrow \cos \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow x=k2\pi ,x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \)

\(\bullet \)\(t=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow \cos \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=-\frac{1}{2\sqrt{2}}\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}\pm \arccos \left( -\frac{1}{2\sqrt{2}} \right)+k2\pi \)

Câu 4: Giải phương trình \(\sin 2x-12\left( \sin x-\cos x \right)+12=0\)

A. \(x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,x=-\pi +k2\pi \)      

B. \(x=\frac{\pi }{2}+k2\pi ,x=-\pi +k\frac{2}{3}\pi \)

C. \(x=\frac{\pi }{2}+k\frac{1}{3}\pi ,x=-\pi +k\frac{2}{3}\pi \)          

D. \(x=\frac{\pi }{2}+k2\pi ,x=-\pi +k2\pi \)

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Đặt \(t=\cos x-\sin x=\sqrt{2}\cos \left( x+\frac{\pi }{4} \right)\Rightarrow \left\{ \begin{align} & \left| t \right|\le \sqrt{2} \\ & \sin 2x=1-{{t}^{2}} \\ \end{align} \right.\)

Ta có: \(1-{{t}^{2}}+12t+12=0\Leftrightarrow t=-1\Leftrightarrow \cos \left( x+\frac{\pi }{4} \right)=-\frac{1}{\sqrt{2}}\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+k2\pi ,x=-\pi +k2\pi \).

Câu 5: Giải phương trình \(\sin 2x+\sqrt{2}\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=1\)

A. \(x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,x=\pi +k2\pi \)         

B. \(x=\frac{\pi }{4}+k\frac{1}{2}\pi ,x=\frac{\pi }{2}+k\frac{1}{2}\pi ,x=\pi +k\frac{1}{2}\pi \)

C. \(x=\frac{\pi }{4}+k\frac{2}{3}\pi ,x=\frac{\pi }{2}+k\frac{2}{3}\pi ,x=\pi +k2\pi \)           

D. \(x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,x=\frac{\pi }{2}+k2\pi ,x=\pi +k2\pi \)

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Đặt \(t = \sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sin x - \cos x \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left| t \right| \le \sqrt 2 \\ \sin 2x = 1 - {t^2} \end{array} \right.\)

Ta có: \(1-{{t}^{2}}+t=1\Leftrightarrow t=0,t=1\)

Từ đó ta tìm được: \(x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,x=\frac{\pi }{2}+k2\pi ,x=\pi +k2\pi \)

Câu 6: Giải phương trình \(1+\tan x=2\sqrt{2}\sin x\)

A. \(x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,x=\frac{11\pi }{12}+k\pi ,x=-\frac{5\pi }{12}+k\pi \)          

B. \(x=\frac{\pi }{4}+k\frac{2}{3}\pi ,x=\frac{11\pi }{12}+k\frac{2}{3}\pi ,x=-\frac{5\pi }{12}+k\frac{2}{3}\pi \)

C. \(x=\frac{\pi }{4}+k2\pi ,x=\frac{11\pi }{12}+k\frac{1}{4}\pi ,x=-\frac{5\pi }{12}+k2\pi \)

D. \(x=\frac{\pi }{4}+k2\pi ,x=\frac{11\pi }{12}+k2\pi x=,x=-\frac{5\pi }{12}+k2\pi \)

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Điều kiện: \(\cos x\ne 0\)

Phương trình \(\Leftrightarrow \sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin 2x\)

Đặt \(t = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \cos \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left| t \right| \le \sqrt 2 \\ \sin 2x = {t^2} - 1 \end{array} \right.\)

Ta có: \(t=\sqrt{2}\left( {{t}^{2}}-1 \right)\Leftrightarrow \sqrt{2}{{t}^{2}}-t-\sqrt{2}=0\Leftrightarrow t=\sqrt{2},t=-\frac{1}{\sqrt{2}}\)

Từ đó tìm được: \(x=\frac{\pi }{4}+k2\pi ,x=\frac{11\pi }{12}+k2\pi x=,x=-\frac{5\pi }{12}+k2\pi \)

Câu 7: Giải phương trình \(\left| \cos x-\sin x \right|+2\sin 2x=1\)

A. \(x=\frac{k3\pi }{2}\)  

B. \(x=\frac{k5\pi }{2}\)   

C. \(x=\frac{k7\pi }{2}\)  

D. \(x=\frac{k\pi }{2}\)

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Đặt \(t = \left| {\sin x - \cos x} \right| = \sqrt 2 \left| {\cos \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)} \right| \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sin 2x = 1 - {t^2}\\ 0 \le t \le \sqrt 2 \end{array} \right.\)

Ta có: \(t+2(1-{{t}^{2}})=1\Leftrightarrow 2{{t}^{2}}-t-1=0\Leftrightarrow t=1\Leftrightarrow \sin 2x=0\Leftrightarrow x=\frac{k\pi }{2}\)

Câu 8: Giải phương trình \({{\cos }^{3}}x+{{\sin }^{3}}x=\cos 2x\)

A. \(x=-\frac{\pi }{4}+k2\pi ,x=-\frac{\pi }{2}+k\pi ,x=k\pi \)              

B. \(x=-\frac{\pi }{4}+k\frac{2}{3}\pi ,x=-\frac{\pi }{2}+k\pi ,x=k\pi \)

C. \(x=-\frac{\pi }{4}+k\frac{1}{3}\pi ,x=-\frac{\pi }{2}+k\frac{2}{3}\pi ,x=k2\pi \)    

D. \(x=-\frac{\pi }{4}+k\pi ,x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi ,x=k2\pi \)

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Phương trình \(\Leftrightarrow (\sin x+\cos x)(1-\sin x\cos x)=(\sin x+\cos x)(\cos x-\sin x)\)

\(\Leftrightarrow \left( \sin x+\cos x \right)\left( 1-\sin x\cos x-\cos x+\sin x \right)=0\)

Từ đó ta tìm được: \(x=-\frac{\pi }{4}+k\pi ,x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi ,x=k2\pi \)

 

...

---(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Phương pháp giải phương trình đối xứng với sin và cos. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Phương trình bậc hai và quy về bậc hai với một hàm số lượng giác

• Phương pháp biến đổi phương trình lượng giác về dạng tích

Chúc các em học tập tốt!