Giải Toán 11 SGK nâng cao Ôn tập Chương 2 Tổ hợp và xác suất

Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,60,1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có ba chữ số (không phải nhất thiết khác nhau) ?

Hướng dẫn giải:

Để lập một số chẵn có ba chữ số \(\overline {abc} \) từ các chữ số cho ta có thể chọn chữ số a trong tập {1,2,3,4,5,6}, chữ số b trong tập {0,1,2,3,4,5,6} và chữ số c trong tập {0,2,4,6}. Như vậy chữ số a có 6 cách chọn, chữ số b có 7 cách chọn và chữ số c có 4 cách chọn. Theo qui tắc nhân, ta có 6.7.4 = 168 cách lập một số thỏa mãn đề bài.  

---

Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập nên bao nhiêu số chẵn có ba chữ số khác nhau?

Hướng dẫn giải:

Để lập số chẵn có 3 chữ số \(\overline {abc} \), đầu tiên ta lấy chữ số c trong tập {2,4}. Có hai cách chọn chữ số c.

Sau đó ta chọn chữ số b trong tập {1,2,3,4,5}. Có 4 cách chọn chữ số b.

Cuối cùng, ta chọn số a trong tập {1,2,3,4,5}∖{c,b}. Có 3 cách chọn chữ số a.

Vậy theo qui tắc nhân, ta có 2.4.3 = 24 số chẵn thỏa mãn điều kiện đầu bài.

---

Xét hồ sơ mạng điện có 9 công tắc, trong đó mỗi công tắc có hai trạng thái đóng và mở.

a. Hỏi mạng điện có thể có bao nhiêu cách đóng – mở 9 công tắc trên ?

b. Hỏi mạng điện có bao nhiêu cách đóng – mở 9 công tắc trên để thông mạch từ A đến B (tức là có dòng điện đi từ A đến B) ?

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Mỗi công tắc có hai trạng thái đóng và mở. Mạng điện có 9 công tắc. Theo qui tắc nhân, mạng điện có 2⁹ = 512 cách đóng – mở 9 công tắc trên.

Câu b:

Khối M có 2⁴ = 16 cách đóng – mở 4 công tắc trong đó chỉ có một cách không thông mạch. Do đó có 15 cách đóng – mở 4 công tắc để thông mạch của khối M. Tương tự có 3 cách đóng – mở 2 công tắc để thông mạch của khối N và 7 cách đóng – mở 3 công tắc để thông mạch của khối P. Mạng điện thông mạch từ A đến B khi và chỉ khi cả ba khối M, N và P đều thông mạch. Theo  qui tắc nhân, mạng điện có cả thảy 15.3.7 = 315 cách đóng – mở 9 công tắc để thông mạch.

---

Trong không gian cho tập hợp gồm 9 điểm trong đó không có 4 điểm nào đồng phẳng. Hỏi có thể lập được bao nhiêu tứ diện với đỉnh thuộc tập hợp đã cho ?

Hướng dẫn giải:

Số tứ diện cần tìm là số tổ hợp chập 4 của 9 phần tử.

Vậy có \(C_9^4 = 126\) tứ diện

---

Một câu lạc bộ có 25 thành viên.

a. Có bao nhiêu cách chọn 4 thành viên vào Ủy ban Thường trực ?

b. Có bao nhiêu cách chọn Chủ tịch, Phó Chủ tịch và Thủ quỹ ?

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Số cách chọn 4 thành viên vào Ủy ban Thường trực là số tổ hợp chập 4 của 25 phần tử.

Vậy có \(C_{25}^4 = 12650\) cách chọn.

Câu b:

Số cách chọn Chủ tịch, Phó Chủ tịch và Thủ quỹ là số chỉnh hợp chập 3 của 25 phần tử.

Vậy có \(A_{25}^3 = 13800\) cách chọn Chủ tịch, Phó Chủ tịch và Thủ quỹ.

---

Tìm hệ số của x⁸y⁹ trong khai triển của (3x+2y)¹⁷

Hướng dẫn giải:

Ta có \({\left( {3x + 2y} \right)^{17}} = \sum\limits_{k = 0}^{17} {C_{17}^k{{\left( {3x} \right)}^{17 - k}}{{\left( {2y} \right)}^k}} \)

Số hạng chứa x⁸y⁹ trong khai triển của (3x+2y)¹⁷ là \(C_{17}^9{\left( {3x} \right)^8}{\left( {2y} \right)^9}\) (ứng với k = 9)

Vậy hệ số của x⁸y⁹ là \(C_{17}^9{3^8}{2^9}\)

---

Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên bé hơn 1000. Tính xác suất để số đó :

a. Chia hết cho 3

b. Chia hết cho 5

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Các số chia hết cho 3 có dạng m = 3k, ta có 0 ≤ 3k ≤ 999 ⇔ 0 ≤ k ≤ 333. Vậy có 334 số tự nhiên chia hết cho 3 và bé hơn 1000. Do đó xác suất để số chia hết cho 3 là \(P = \frac{{334}}{{1000}} = 0,334\)

Câu b:

Các số chia hết cho 5 có dạng n = 5k, ta có 0 ≤ 5k ≤ 1000 ⇔ 0 ≤ k ≤ 200.

Vậy có 200 số tự nhiên chia hết cho 5 và bé hơn 1000. Do đó \(P = \frac{{200}}{{1000}} = 0,2\)

---

Chọn ngẫu nhiên 5 quân bài trong cỗ bài tú lơ khơ gồm 52 quân bài. Tính xác suất để trong 5 quân bài này có quân 2 rô, quân 3 pích, quân 6 cơ, quân 10 nhép và quân K cơ.

Hướng dẫn giải:

Có \(C_{52}^5\) cách chọn 5 quân bài.

Vì trong các quân bài chỉ có duy nhất quân 2 rô, 3 quân pích, quân 6 cơ, quân 10 nhép và quân K cơ nên xác suất cần tìm là \(P = \frac{1}{{C_{52}^5}}\).

---

Chọn ngẫu nhiên 5 quân bài trong cỗ bài tú lơ khơ gồm 52 quân bài. Tính xác suất để trong 5 quân bài này có ít nhất một quân át (tính chính xác đến hàng phần nghìn).

Hướng dẫn giải:

Số kết quả có thể là \({C_{52}^5}\).

Gọi A là biến cố “Trong năm quân bài có ít nhất một quân át”. Biến cố đối của A là \(\overline A \): “Trong năm quân bài không có quân át”. Số kết quả thuận lợi cho \(\overline A \) là \(C_{48}^5\) (đó là số cách chọn 5 quân bài trong 48 quân bài không phải là quân át).

Vậy \(P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = 1 - \frac{{C_{48}^5}}{{C_{52}^5}} \approx 0,341\).

---

Có hai hòm, mỗi hòm chứa 5 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 5. Rút ngẫu nhiên từ mỗi hòm một tấm thẻ. Tính xác suất để tổng các số ghi trên hai tấm thẻ rút ra không nhỏ hơn 3.

Hướng dẫn giải:

Không gian mẫu: \(\Omega  = \left\{ {\left( {x;y} \right)|1 \le x,y \le 5;x,y \in {N^*}} \right\}\), trong đó x và y theo thứ tự là số ghi trên thẻ rút ở hòm thứ nhất và hòm thứ hai.

Ta có |Ω| = 5.5 = 25.

Gọi A là biến cố có “Tổng số ghi trên hai tấm thẻ được rút ra từ 3 trở lên”

Khi đó \(\overline A \) là biến cố “Tổng số ghi trên hai tấm thẻ được rút ra nhỏ hơn 3”

Ta có \({\Omega _{\overline A }} = \left\{ {\left( {1;1} \right)} \right\}\) nên \(\left| {{\Omega _{\overline A }}} \right| = 1\)

Vậy \(P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = 1 - \frac{{\left| {{\Omega _{\overline A }}} \right|}}{{\left| \Omega  \right|}} = 1 - \frac{1}{{25}} = 0,96\).

---

Có 3 hòm, mỗi hòm chứa 5 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 5. Rút ngẫu nhiên từ mỗi hòm một tấm thẻ. Tính xác suất để :

a. Tổng các số ghi trên ba tấm thẻ rút ra không nhỏ hơn 4

b. Tổng các số ghi trên ba tấm thẻ rút ra bằng 6.

Hướng dẫn giải:

Không gian mẫu: \(\Omega  = \left\{ {\left( {x;y;z} \right)|1 \le x,y,z \le 5;x,y,z \in {N^*}} \right\}\), trong đó x, y và z theo thứ tự là số ghi trên thẻ rút ở hòm thứ nhất, thứ hai và thứ ba. Ta có: n_Ω = 5.5.5 = 125.

Câu a:

Gọi A là biến cố đang xét. Khi đó \(\overline A \) là biến cố “Tổng số ghi trên ba tấm thẻ được chọn nhiều nhất là 3”. Khi đó  \({\Omega _{\overline A }} = \left\{ {\left( {1;1;1} \right)} \right\}\) nên \({n_{{\Omega _{\overline A }}}} = 1\)

Vậy \(P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = 1 - \frac{1}{{125}} = 0,992\)

Câu b:

Gọi B là biến cố đang xét. Khi đó:

\({\Omega _B} = \left\{ {\left( {x;y;z} \right)|x + y + z = 6;1 \le x,y,z \le 5;x,y,z \in {N^*}} \right\}\)

Ta có 6 = 1+2+3 = 1+1+4 = 2+2+2

Tập {1,2,3} cho ta sáu phần tử của Ω_B, tập {1,1,4} cho ta ba phần tử của Ω_B, tập {2,2,2} chỉ cho ta duy nhất một phần tử Ω_B

Suy ra \({n_{{\Omega _B}}} = 6 + 3 + 1 = 10\)

Do đó \(P\left( B \right) = \frac{{10}}{{125}} = 0,08\).

---

Số lỗi đánh máy trên một trang sách là một biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân bố xác suất như sau:

X	0	1	2	3	4	5
P	0,01	0,09	0,3	0,3	0,2	0,1

Tính xác suất để:

a. Trên trang sách có nhiều nhất 4 lỗi;

b. Trên trang sách có ít nhất 2 lỗi.

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Xác suất để trên trang sách có nhiều nhất 4 lỗi là:

P(X ≤ 4) = 1−P(X=5)=1−0,1 = 0,9

Câu b:

Xác suất để trên trang sách có ít nhất 2 lỗi là:

P(X ≥ 2) = 1−P(X=0)−P(X=1) = 1−0,01−0,09 = 0,9.

---

Có hai túi, túi thứ nhất chứa ba tấm thẻ đánh số 1, 2, 3 và túi thứ hai chứa bốn tấm thẻ đánh số 4, 5, 6, 8. Rút ngẫu nhiên từ mỗi túi một tấm thẻ rồi cộng hai số ghi trên hai tấm thẻ với nhau. Gọi X là số thu được.

a. Lập bảng phân bố xác suất của X;

b. Tính E(X).

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Không gian mẫu Ω = {(x;y)|x ∈ {1,2,3}, y ∈ {4,5,6,8}}

Khi đó \({n_\Omega } = 3.4 = 12\)

Ta có X nhận các giá trị thuộc tập {5,6,7,8,9,10,11}

Ta tính P(X=5). Gọi A là biến cố “X = 5” (tức là biến cố “Tổng số ghi trên hai tấm thẻ bằng 5”.

Ta có:

Ω_A = {(1;4)}. Vậy \(P\left( {X = 5} \right) = \frac{1}{{12}}\)

Hoàn toàn tương tự, ta tính được:

\(P\left( {X = 6} \right) = \frac{2}{{12}}=\frac{1}{6}\) (vì biến có “X = 6” có hai kết quả thuận lợi là (1;5) và (2;4)).

\(P\left( {X = 7} \right) = \frac{3}{{12}} = \frac{1}{4}\) (vì biến có “X = 7” có ba kết quả thuận lợi là (1;6) và (2;5) và (3;4)).

\(P\left( {X = 8} \right) = \frac{2}{{12}} = \frac{1}{6}\) (vì biến có “X = 8” có hai kết quả thuận lợi là (3 ; 5) và (2 ; 6)).

\(P\left( {X = 9} \right) = \frac{2}{{12}} = \frac{1}{6}\) (vì biến có “X = 9” có hai kết quả thuận lợi là (3;6) và (1;8)).

\(P\left( {X = 10} \right) = \frac{1}{{12}}\) (vì biến có “X = 10” chỉ có một kết quả thuận lợi là (2;8)).

\(P\left( {X = 11} \right) = \frac{1}{{12}}\) (vì biến có “X = 11” chỉ có một kết quả thuận lợi là (3;8)).

Ta suy ra bảng phân bố xác suất của X như sau:

X	5	6	7	8	9	10	11
P	\(\frac{1}{{12}}\)	\(\frac{1}{6}\)	\(\frac{1}{4}\)	\(\frac{1}{6}\)	\(\frac{1}{6}\)	\(\frac{1}{{12}}\)	\(\frac{1}{{12}}\)

Câu b:

Ta có \(E\left( X \right) = 5.\frac{1}{{12}} + 6.\frac{1}{6} + 7.\frac{1}{4} + 8.\frac{1}{6} + 9.\frac{1}{6} + 10.\frac{1}{{12}} + 11.\frac{1}{{12}} = 7,75\)

---

Một nhóm có 7 người trong đó gồm 4 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 người. Gọi X là số nữ trong 3 người được chọn.

a. Lập bảng phân bố xác suất của X.

b. Tính E(X) và V(X) (tính chính xác đến hàng phần trăm).

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Số trường hợp có thể là \(C_7^3 = 35\)

Xác suất để không có người nữ nào được chọn là \(P\left( {X = 0} \right) = \frac{{C_4^3}}{{C_7^3}} = \frac{4}{{35}}\)

Xác suất để có 1 nữ được chọn là \(P\left( {X = 1} \right) = \frac{{C_3^1.C_4^2}}{{C_7^3}} = \frac{{18}}{{35}}\)

Xác suất để có 2 nữ được chọn là \(P\left( {X = 2} \right) = \frac{{C_3^2.C_4^1}}{{C_7^3}} = \frac{{12}}{{35}}\)

Xác suất để có 3 nữ được chọn là \(P\left( {X = 3} \right) = \frac{{C_3^3}}{{C_7^3}} = \frac{1}{{35}}\)

Bảng phân bố xác suất của X như sau:

X	0	1	2	3
P	\(\frac{4}{{35}}\)	\(\frac{{18}}{{35}}\)	\(\frac{{12}}{{35}}\)	\(\frac{1}{{35}}\)

Câu b:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
E\left( X \right) = 0.\frac{4}{{35}} + 1.\frac{{18}}{{35}} + 2.\frac{{12}}{{35}} + 3.\frac{1}{{35}} = \frac{9}{7} \approx 1,29\\
V\left( X \right) = {\left( {0 - \frac{9}{7}} \right)^2}.\frac{4}{{35}} + {\left( {1 - \frac{9}{7}} \right)^2}.\frac{{18}}{{35}} + {\left( {2 - \frac{9}{7}} \right)^2}.\frac{{12}}{{35}} + {\left( {3 - \frac{9}{7}} \right)^2}.\frac{1}{{35}} \approx 0,49
\end{array}\)

 

Trên đây là nội dung chi tiết Giải bài tập nâng cao Toán 11 Ôn tập Chương 2 Tổ hợp và xác suất với hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. Hoc247 hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 11 học tập thật tốt.