Giải Toán 11 SGK nâng cao Chương 4 Luyện tập (trang 175, 176)

Chứng minh rằng:

a. Hàm số

\(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {x + 1} \right)^2},\,\,\,x \le 0\\
{x^2} + 2,\,\,\,\,\,\,\,x > 0
\end{array} \right.\) gián đoạn tại điểm x = 0

b. Mỗi hàm số

\(g\left( x \right) = \sqrt {x - 3} \) và \(h\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{{x - 2}},\,\,\,x \le 1\\
 - \frac{1}{x},\,\,\,\,\,\,\,x > 1
\end{array} \right.\) liên tục trên tập xác định của nó.

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {{x^2} + 2} \right) = 2\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {\left( {x + 1} \right)^2} = 1
\end{array}\)

Suy ra hàm số f gián đoạn tại x = 0

Câu b:

• Tập xác định của hàm số \(g\left( x \right) = \sqrt {x - 3} \) là \(\left[ {3; + \infty } \right)\)

Với x0 > 3 ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {x - 3}  = \sqrt {{x_0} - 3}  = g\left( {{x_0}} \right)\)

Nên g liên tục trên khoảng \(\left( {3; + \infty } \right)\), ngoài ra:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \sqrt {x - 3}  = 0 = g\left( 3 \right)\)

Vậy g liên tục trên \(\left[ {3; + \infty } \right)\)

• Tập xác định của hàm số 

\(h\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{{x - 2}},\,\,\,x \le 1\\
 - \frac{1}{x},\,\,\,\,\,\,\,x > 1
\end{array} \right.\) là R

Rõ ràng h liên tục trên \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và trên \(\left( {1; + \infty } \right)\) (Vì trên các khoảng này h là hàm phân thức)

Tại x0 = 1 ta có:

\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} h\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{1}{{x - 2}} =  - 1\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} h\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{ - 1}}{x} =  - 1\\
 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} h\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} h\left( x \right) = h\left( 1 \right)
\end{array}\)

⇒ h liên tục tại x = 1

Vậy h liên tục trên R. 

---

Giải thích vì sao:

a. Hàm số \(f\left( x \right) = {x^2}\sin x - 2{\cos ^2}x + 3\) liên tục trên R.

b. Hàm số \(g\left( x \right) = \frac{{{x^3} + x\cos x + \sin x}}{{2\sin x + 3}}\) liên tục trên R

c. Hàm số \(h\left( x \right) = \frac{{\left( {2x + 1} \right)\sin x - {{\cos }^3}x}}{{x\sin x}}\) liên tục tại mọi điểm \(x \ne k\pi ,k \in Z\).

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Với mọi x₀ ∈ R, ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {x^2} = x_0^2,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sin x = \sin {x_0}\)

 và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \cos x = \cos {x_0}\)

(vì các hàm số y = sinx và y = cosx liên tục trên R)

Do đó:

\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {{x^2}\sin x - 2{{\cos }^2}x + 3} \right)\\
 = x_0^2\sin {x_0} - 2{\cos ^2}{x_0} + 3 = f\left( {{x_0}} \right)
\end{array}\)

Vậy hàm số f liên tục tại mọi điểm x₀ ∈ R.

Do đó hàm số f liên tục trên R.

Câu b:

Tập xác định của g là R

Với mọi x₀ ∈ R ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {x^3} = x_0^3,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sin x = \sin {x_0},\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \cos x = \cos {x_0}\)

Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = \frac{{x_0^3 + {x_0}\cos {x_0} + \sin {x_0}}}{{2\sin {x_0} + 3}} = g\left( {{x_0}} \right)\)

Vậy hàm số g liên tục tại mọi x₀ ∈ R.

Do đó g liên tục trên RR.

Câu c:

Tương tự b, ∀x₀ ≠ kπ, k ∈ Z

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} h\left( x \right) = \frac{{\left( {2{x_0} + 1} \right)\sin {x_0} - {{\cos }^3}{x_0}}}{{{x_0}\sin {x_0}}} = h\left( {{x_0}} \right)\)

Vậy hàm số h liên tục tại mọi x₀ ∈ R.

Do đó h liên tục trên R.

---

Chứng minh rằng hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + x + 3 + \frac{1}{{x - 2}}\) liên tục trên tập xác định của nó.

Hướng dẫn giải:

Tập xác định D = R \ {2}

Với mọi x₀ ≠ 2, ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = x_0^2 + {x_0} + 3 + \frac{1}{{{x_0} - 2}} = f\left( {{x_0}} \right)\)

Suy ra f liên tục tại mọi x₀ ≠ 2 nên f liên tục trên tập xác định.

---

Chứng minh rằng phương trình x³+x+1 = 0 có ít nhất một nghiệm âm lớn hơn - 1.

Hướng dẫn giải:

Hàm số \(f(x)=x^3+x+1\) liên tục trên đoạn [- 1;0] có \(f(−1)=−1\) và \(f(0)=1\).

Vì \(f(−1).f(0)<0\) nên theo hệ quả của định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại ít nhất một điểm c∈ (−1;0) sao cho \(f(c)=0\). Số c là nghiệm âm lớn hơn - 1 của phương trình đã cho.

 

Trên đây là nội dung chi tiết Giải bài tập nâng cao Toán 11 Chương 4 Luyện tập (trang 175, 196) với hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. Hoc247 hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 11 học tập thật tốt.