Giải Toán 11 SGK nâng cao Chương 4 Bài 5 Giới hạn một bên

Áp dụng định nghĩa giới hạn bên phải và giới hạn bên trái của hàm số, tìm các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \sqrt {x - 1} \)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ - }} \left( {\sqrt {5 - x}  + 2x} \right)\)

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{1}{{x - 3}}\)

d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{1}{{x - 3}}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \sqrt {x - 1}  = 0\)

Câu b:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ - }} \left( {\sqrt {5 - x}  + 2x} \right) = 2.5 = 10\)

Câu c:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{1}{{x - 3}} =  + \infty \) (vì x > 3)

Câu d:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{1}{{x - 3}} =  - \infty \) (vì x < 3)

---

Tìm các giới hạn sau (nếu có):

a. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\left| {x - 2} \right|}}{{x - 2}}\)

b. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{\left| {x - 2} \right|}}{{x - 2}}\)

c. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left| {x - 2} \right|}}{{x - 2}}\) 

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Với mọi x > 2, ta có |x−2| = x−2. Do đó:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\left| {x - 2} \right|}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{x - 2}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} 1 = 1\)

Câu b:

Với mọi x < 2, ta có |x–2| = 2–x. Do đó:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{\left| {x - 2} \right|}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{ - \left( {x - 2} \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }}  - 1 =  - 1\)

Câu c:

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\left| {x - 2} \right|}}{{x - 2}} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{\left| {x - 2} \right|}}{{x - 2}}\) nên không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left| {x - 2} \right|}}{{x - 2}}\).

---

Tìm các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{x + 2\sqrt x }}{{x - \sqrt x }}\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{4 - {x^2}}}{{\sqrt {2 - x} }}\)

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \frac{{{x^2} + 3x + 2}}{{\sqrt {{x^5} + {x^4}} }}\)

d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{\sqrt {{x^2} - 7x + 12} }}{{\sqrt {9 - {x^2}} }}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Với x > 0, ta có: \(\frac{{x + 2\sqrt x }}{{x - \sqrt x }} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 1}}\)

Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{x + 2\sqrt x }}{{x - \sqrt x }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 1}} = \frac{2}{{ - 1}} =  - 2\)

Câu b:

Với x < 2, ta có: \(\frac{{4 - {x^2}}}{{\sqrt {2 - x} }} = \frac{{\left( {2 - x} \right)\left( {2 + x} \right)}}{{\sqrt {2 - x} }} = \left( {x + 2} \right)\sqrt {2 - x} \)

Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{4 - {x^2}}}{{\sqrt {2 - x} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {x + 2} \right)\sqrt {2 - x}  = 0\)

Câu c:

Với x > - 1, ta có: \(\frac{{{x^2} + 3x + 2}}{{\sqrt {{x^5} + {x^4}} }} = \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{{x^2}\sqrt {x + 1} }} = \frac{{\sqrt {x + 1} \left( {x + 2} \right)}}{{{x^2}}}\)

Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \frac{{{x^2} + 3x + 2}}{{\sqrt {{x^5} + {x^4}} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \frac{{\sqrt {x + 1} \left( {x + 2} \right)}}{{{x^2}}} = 0\)

Câu d:

Với - 3 < x < 3, ta có: \(\frac{{\sqrt {{x^2} - 7x + 12} }}{{\sqrt {9 - {x^2}} }} = \frac{{\sqrt {\left( {3 - x} \right)\left( {4 - x} \right)} }}{{\sqrt {\left( {3 - x} \right)\left( {3 + x} \right)} }} = \frac{{\sqrt {4 - x} }}{{\sqrt {3 + x} }}\)

Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{\sqrt {{x^2} - 7x + 12} }}{{\sqrt {9 - {x^2}} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{\sqrt {4 - x} }}{{\sqrt {3 + x} }} = \frac{{\sqrt 6 }}{6}\)

---

Cho hàm số

\(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
2\left| x \right| - 1\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \le  - 2\\
\sqrt {2{x^2} + 1} \,\,\,\,khi\,\,x >  - 2
\end{array} \right.\)

Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} f\left( x \right),\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} f\left( x \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} f\left( x \right)\) (nếu có).

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} \left( {2\left| x \right| - 1} \right) = 2.\left| { - 2} \right| - 1 = 3\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \sqrt {2{x^2} + 1}  = 3\\
 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} f\left( x \right) = 3
\end{array}\)

 

Trên đây là nội dung chi tiết Giải bài tập nâng cao Toán 11 Chương 4 Bài 5 Giới hạn một bên với hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. Hoc247 hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 11 học tập thật tốt.