Giải Toán 11 SGK nâng cao Chương 4 Bài 1 Dãy số có giới hạn 0

Chứng minh rằng các dãy số với số hạng tổng quát sau đây có giới hạn 0:

a) \(\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{n + 5}}\)

b) \(\frac{{\sin n}}{{n + 5}}\)

c) \(\frac{{\cos 2n}}{{\sqrt n  + 1}}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có \(\left| {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{n + 5}}} \right| = \frac{1}{{n + 5}} < \frac{1}{n}\) và \(\lim \frac{1}{n} = 0 \Rightarrow \lim \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{n + 5}} = 0\)

Câu b:

Ta có \(\left| {\frac{{\sin n}}{{n + 5}}} \right| \le \frac{1}{{n + 5}} < \frac{1}{n}\) và \(\lim \frac{1}{n} = 0 \Rightarrow \lim \frac{{\sin n}}{{n + 5}} = 0\)

Câu c:

Ta có \(\left| {\frac{{\cos 2n}}{{\sqrt n  + 1}}} \right| \le \frac{1}{{\sqrt n  + 1}} < \frac{1}{{\sqrt n }}\) và \(\lim \frac{1}{{\sqrt n }} = 0 \Rightarrow \lim \frac{{\cos 2n}}{{\sqrt n  + 1}} = 0\)

---

Chứng minh rằng hai dãy số (u_n) và (v_n) với

\({u_n} = \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}},\,\,\,{v_n} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}\cos n}}{{{n^2} + 1}}\)

Có giới hạn 0.

Hướng dẫn giải:

Ta có \(\left| {{u_n}} \right| = \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} < \frac{1}{n}\) và \(\lim \frac{1}{n} = 0 \Rightarrow \lim {u_n} = 0\)

\(\left| {\,{v_n}} \right| = \left| {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}\cos n}}{{{n^2} + 1}}} \right| = \frac{{\left| {\cos n} \right|}}{{{n^2} + 1}} \le \frac{1}{{{n^2} + 1}} < \frac{1}{{{n^2}}}\) và \(\lim \frac{1}{{{n^2}}} = 0 \Rightarrow \lim {v_n} = 0\)

---

Chứng minh rằng các dãy số (un) sau đây có giới hạn 0:

a) \({u_n} = {\left( {0,99} \right)^n}\)

b) \({u_n} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{2^n} + 1}}\)

c) \({u_n} =  - \frac{{\sin \frac{{n\pi }}{5}}}{{{{\left( {1,01} \right)}^n}}}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có \(\left| {0,99} \right| < 1 \Rightarrow \lim {u_n} = \lim {\left( {0,99} \right)^n} = 0\)

Câu b:

Ta có \(\left| {{u_n}} \right| = \left| {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{2^n} + 1}}} \right| = \frac{1}{{{2^n} + 1}} < {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n}\) và \(\lim {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} = 0 \Rightarrow \lim {u_n} = 0\)

Câu c:

Ta có \(\left| {{u_n}} \right| = \left| { - \frac{{\sin \frac{{n\pi }}{5}}}{{{{\left( {1,01} \right)}^n}}}} \right| = \frac{{\left| {\sin \frac{{n\pi }}{5}} \right|}}{{{{\left( {1,01} \right)}^n}}} \le {\left( {\frac{1}{{1,01}}} \right)^n},\lim {\left( {\frac{1}{{1,01}}} \right)^n} = 0 \Rightarrow \lim {u_n} = 0\)

---

Cho dãy số (u_n) với \({u_n} = \frac{n}{{{3^n}}}\)

a. Chứng minh rằng \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} \le \frac{2}{3}\) với mọi n.

b. Bằng phương pháp qui nạp, chứng minh rằng \(0 < {u_n} \le {\left( {\frac{2}{3}} \right)^n}\) với mọi n.

c. Chứng minh rằng dãy số (u_n) có giới hạn 0.

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{n + 1}}{{{3^{n + 1}}}}:\frac{n}{{{3^n}}} = \frac{1}{3}.\frac{{n + 1}}{n} = \frac{1}{3}.\left( {1 + \frac{1}{n}} \right) \le \frac{2}{3},\forall n \ge 1\)

Câu b:

Rõ ràng \({u_n} > 0,\forall n \ge 1\).

Ta chứng minh \({u_n} \le {\left( {\frac{2}{3}} \right)^n}\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

• Với n = 1 ta có \({u_1} = \frac{1}{3} \le \frac{2}{3}\)

Vậy (1) đúng với n = 1

• Giả sử (1) đúng với n = k, tức là ta có \({u_k} \le {\left( {\frac{2}{3}} \right)^k}\)

Khi đó \({u_{k + 1}} \le \frac{2}{3}{u_k}\) (theo câu a)

\( \Rightarrow {u_{k + 1}} \le \frac{2}{3}.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^k} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{k + 1}}\)

Vậy (1) đúng với n = k+1 nên (1) đúng với mọi n.

Câu c:

Ta có \(0 < {u_n} \le {\left( {\frac{2}{3}} \right)^n} \Rightarrow \left| {{u_n}} \right| \le {\left( {\frac{2}{3}} \right)^n}\)

Mà \(\lim {\left( {\frac{2}{3}} \right)^n} = 0 \Rightarrow \lim \left| {{u_n}} \right| = 0 \Rightarrow \lim {u_n} = 0\)

 

Trên đây là nội dung chi tiết Giải bài tập nâng cao Toán 11 Chương 4 Bài 1 Dãy số có giới hạn 0 với hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. Hoc247 hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 11 học tập thật tốt.