Giải Toán 11 SGK nâng cao Chương 3 Luyện tập (121, 122)

Hãy chọn những khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây:

a. Nếu các số thực a, b, c mà abc ≠ 0, theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng với công sai khác 0 thì các số \(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}\) theo thứ tự đó cũng lập thành một cấp số cộng.

b. Nếu các số thực a, b, c mà abc ≠ 0, theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân thì các số \(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}\) theo thứ tự đó cũng lập thành một cấp số nhân.

c. \(1 + \pi  + {\pi ^2} + ... + {\pi ^{100}} = \frac{{{\pi ^{100}} - 1}}{{\pi  - 1}}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Sai, vì 1, 2, 3 là cấp số cộng nhưng \(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3}\) không là cấp số cộng.

Câu b:

Đúng, vì nếu a, b, c là cấp số nhân công bội q ≠ 0 thì \(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}\) là cấp số nhân công bội  \(\frac{1}{q}\).

Câu c:

Sai, vì \(1 + \pi  + {\pi ^2} + ... + {\pi ^{100}} = \frac{{{\pi ^{101}} - 1}}{{\pi  - 1}}\)

---

Các số x+6y, 5x+2y, 8x+y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng; đồng thời các số x–1, y+2, x–3y theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm x và y.

Hướng dẫn giải:

Vì các số x+6y, 5x+2y, 8x+y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng nên:

2(5x+2y) = (x+6y)+(8x+y) ⇔ x = 3y       (1)

Vì các số x–1, y+2, x–3y theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân nên:

(y+2)² = (x−1)(x−3y)          (2)

Thế (1) vào (2), ta được (y+2)² = 0 ⇔ y = − 2. Từ đó x = − 6.

---

Cho cấp số cộng (u_n) với công sai khác 0. Biết rằng các số u₁u₂, u₂u₃ và u₃u₁ theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân với công bội q ≠ 0. Hãy tìm q.

Hướng dẫn giải:

Vì cấp số cộng (u_n) có công sai khác 0 nên các số u₁, u₂, u₃ đôi một khác nhau ⇒ u₁.u₂ ≠ 0 và q ≠ 1.

Ta có u₂u₃ = u₁u₂.q và u₃u₁ = u₁u₂.q².

Từ đó suy ra u₃ = u₁q = u₂q² (vì u₁u₂ ≠ 0). Do đó u₁ = u₂q (vì q ≠ 0 theo giả thiết)

Vì u₁, u₂, u₃ là một cấp số cộng nên u₁+u₃ = 2u₂, suy ra:

u₂(q+q²) = 2u₂ ⇔ q²+q−2 = 0 (vì u₂ ≠ 0) ⇔ q = −2 (vì q ≠ 1).

---

Số hạng thứ hai, số hạng đầu và số hạng thứ ba của một cấp số cộng với công sai khác 0 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm công bội của cấp số nhân đó.

Hướng dẫn giải:

Kí hiệu (u_n) là cấp số cộng đã cho và gọi q là công bội của cấp số nhân u₂, u₁, u₃. Theo đề bài, ta cần tính q.

Vì cấp số cộng (u_n) có công sai khác 0 nên các số u₁, u₂, u₃ đôi một khác nhau, suy ra q ∉ {0, 1} và u₂ ≠ 0.

Từ các giả thiết của đề bài ta có u₁ = u₂q, u₃ = u₂q² và u₁ + u₃ = 2u₂, suy ra:

u₂(q+q²) = 2u₂ ⇔ q²+q−2 = 0 (vì u₂ ≠ 0) ⇔ q = − 2 (vì q ≠ 1).

---

Hãy tìm ba số hạng đầu tiên của một cấp số nhân, biết rằng tổng của chúng bằng \(\frac{{148}}{9}\) và đồng thời các số hạng đó tương ứng là số hạng đầu, số hạng thứ tư và số hạng thứ tám của một cấp số cộng.

Hướng dẫn giải:

Kí hiệu u₁, u₂, u₃ lần lượt là số hạng thứ nhất, thứ hai và thứ ba của cấp số nhân nói trong đề bài; gọi q là công bội của cấp số nhân đó.

Gọi d là công sai của cấp số cộng nhận u₁, u₂ và u₃ tương ứng là số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám.

Ta có: u₁ ≠ 0, vì nếu ngược lại thì u₂ = u₃ = 0, do đó u₁+u₂+u₃ = 0 ≠ \(\frac{{148}}{9}\)

Từ các giả thiết của đề bài ta có: u₂ = u₁q = u₁+3d và u₃ = u₂q = u₂+4d

Suy ra:

u₁(q−1) = 3d       (1)

u₂(q−1) = 4d       (2)

Xét hai trường hợp sau:

• Trường hợp 1: q ≠ 1. Khi đó từ (1) và (2) suy ra d ≠ 0 (do u₁ ≠ 0) và \(q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{4}{3}\)

Từ đó, ta có:

\(\begin{array}{l}
\frac{{148}}{9} = {u_1} + {u_2} + {u_3} = {u_1}.\frac{{1 - {q^3}}}{{1 - q}}\\
 = {u_1}.\frac{{1 - {{\left( {\frac{4}{3}} \right)}^3}}}{{1 - \frac{4}{3}}} = {u_1}.\frac{{37}}{9} \Rightarrow {u_1} = 4\\
 \Rightarrow {u_2} = {u_1}q = \frac{{16}}{3} \Rightarrow {u_3} = {u_2}q = \frac{{64}}{9}
\end{array}\)

Ta có ba số vừa tìm được ở trên là các số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng có công sai \(d = \frac{4}{9}\) 

• Trường hợp 2: q = 1. Khi đó u₁ = u₂ = u₃. Do đó \(\frac{{148}}{9} = 3{u_1}\)

Suy ra \({u_1} = {u_2} = {u_3} = \frac{{148}}{{27}}\)

Hiển nhiên ba số vừa tìm được ở trên là các số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng với công sai d = 0. Vậy có hai bộ ba số cần tìm là:

\({u_1} = 4,{u_2} = \frac{{16}}{3},{u_3} = \frac{{64}}{9}\) và \({u_1} = {u_2} = {u_3} = \frac{{148}}{{27}}\).

---

Cho dãy số (un) xác định bởi

u₁ = 1 và u_{n + 1} = 5u_n + 8 với mọi n ≥ 1.

a. Chứng minh rằng dãy số (v_n), với v_n = u_n + 2, là một cấp số nhân. Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân đó.

b. Dựa vào kết quả phần a, hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số (u_n).

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Từ hệ thức xác định dãy số (u_n), suy ra với mọi n ≥ 1, ta có:

u_n+1+2 = 5(u_n+2) hay v_n+1 = 5u_n

Do đó (v_n) là một cấp số nhân với số hạng đầu v₁ = u₁+2 = 3 và công bội q = 5.

Số hạng tổng quát là: v_n = 3.5^n-1

Câu b:

Số hạng tổng quát của dãy số (u_n) là: u_n = v_n−2 = 3.5ⁿ⁻¹ − 2 với mọi n ≥ 1.

 

Trên đây là nội dung chi tiết Giải bài tập nâng cao Toán 11 Chương 3 Luyện tập (trang 121, 122) với hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. Hoc247 hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 11 học tập thật tốt.