Giải Toán 11 SGK nâng cao Chương 3 Bài 2 Dãy số

Tìm 5 số hạng đầu của mỗi dãy số sau:

a. Dãy số (u_n) với \({u_n} = \frac{{2{n^2} - 3}}{n}\)

b. Dãy số (u_n) với \({u_n} = {\sin ^2}\frac{{n\pi }}{4} + \cos \frac{{2n\pi }}{3}\)

c. Dãy số (u_n) với \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}.\sqrt {{4^n}} \)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(\begin{array}{l}
{u_1} = \frac{{{{2.1}^2} - 3}}{1} =  - 1\\
{u_2} = \frac{{{{2.2}^2} - 3}}{2} = \frac{5}{2}\\
{u_3} = \frac{{{{2.3}^2} - 3}}{3} = 5\\
{u_4} = \frac{{{{2.4}^2} - 3}}{4} = \frac{{29}}{4}\\
{u_5} = \frac{{{{2.5}^2} - 3}}{5} = \frac{{47}}{5}
\end{array}\)

Câu b:

\(\begin{array}{l}
{u_1} = {\sin ^2}\frac{\pi }{4} + \cos \frac{{2\pi }}{3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0\\
{u_2} = {\sin ^2}\frac{\pi }{2} + \cos \frac{{4\pi }}{3} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\\
{u_3} = {\sin ^2}\frac{{3\pi }}{4} + \cos 2\pi  = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}\\
{u_4} = {\sin ^2}\pi  + \cos \frac{{8\pi }}{3} = \cos \left( {2\pi  + \frac{{2\pi }}{3}} \right) =  - \frac{1}{2}\\
{u_5} = {\sin ^2}\frac{{5\pi }}{4} + \cos \frac{{10\pi }}{3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0
\end{array}\)

Câu c:

\(\begin{array}{l}
{u_1} = {\left( { - 1} \right)^1}.\sqrt {{4^1}}  =  - 2\\
{u_2} = {\left( { - 1} \right)^2}.\sqrt {{4^2}}  = 4\\
{u_3} = {\left( { - 1} \right)^3}.\sqrt {{4^3}}  =  - 8\\
{u_4} = {\left( { - 1} \right)^4}.\sqrt {{4^4}}  = 16\\
{u_5} = {\left( { - 1} \right)^5}.\sqrt {{4^5}}  =  - 32
\end{array}\)

---

Tìm số hạng thứ 3 và số hạng thứ 5 của mỗi dãy số sau :

a. Dãy số (u_n) xác định bởi:

u₁ = 0 và \({u_n} = \frac{2}{{u_{n - 1}^2 + 1}}\) với mọi n ≥ 2;

b. Dãy số (u_n) xác định bởi:

u₁ = 1, u₂ = −2 và \({u_n} = {u_{n - 1}} - 2{u_{n - 2}}\) với mọi n ≥ 3.

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
{u_2} = \frac{2}{{u_1^2 + 1}} = 2\\
{u_3} = \frac{2}{{u_2^2 + 1}} = \frac{2}{{{2^2} + 1}} = \frac{2}{5}\\
{u_4} = \frac{2}{{u_3^2 + 1}} = \frac{2}{{{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^2} + 1}} = \frac{{50}}{{29}}\\
{u_5} = \frac{2}{{u_4^2 + 1}} = \frac{2}{{{{\left( {\frac{{50}}{{29}}} \right)}^2} + 1}} = \frac{{1682}}{{3341}}
\end{array}\)

Câu b:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
{u_3} = {u_2} - 2{u_1} =  - 2 - 2.1 =  - 4\\
{u_4} = {u_3} - 2{u_2} =  - 4 - 2.\left( { - 2} \right) = 0\\
{u_5} = {u_4} - 2{u_3} = 0 - 2.\left( { - 4} \right) = 8
\end{array}\)

---

Cho hình vuông A₁B₁C₁D₁ có các cạnh bằng 6cm. Người ta dựng các hình vuông A₂B₂C₂D₂, A₃B₃C₃D₃, …, A_nB_nC_nD_n,… theo cách sau: Với mỗi n = 2, 3, 4, … lấy các điểm A_n, B_n, C_n, và D_n tương ứng trên các cạnh A_n-1Bn-1, B_n-1C_n-1, C_n-1D_n-1và D_n-1A_n-1 sao cho A_n-1A_n = 1cm và A_nB_nC_nD_n là một hình vuông (h.3.2). Xét dãy số (u_n) với u_n là độ dài cạnh của hình vuông A_nB_nC_nD_n.

Hãy cho dãy số (u_n) nói trên bởi hệ thức truy hồi.

Hướng dẫn giải:

Với mỗi n ∈ N^∗, xét các hình vuông A_nB_nC_nD_n và A_n+1B_n+1C_n+1D_n+1, ta có:

\(\begin{array}{l}
{u_{n + 1}} = {A_{n + 1}}{B_{n + 1}} = \sqrt {{{\left( {{A_{n + 1}}{B_n}} \right)}^2} + {{\left( {{B_n}{B_{n + 1}}} \right)}^2}} \\
 = \sqrt {{{\left( {{A_n}{B_n} - 1} \right)}^2} + {1^2}}  = \sqrt {{{\left( {{u_n} - 1} \right)}^2} + 1} 
\end{array}\)

---

Cho dãy số (u_n) xác định bởi :

u₁ = 1 và u_n = 2u_n−1+3 với mọi n ≥ 2.

Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh rằng với mọi n ≥ 1 ta có u_n = 2ⁿ⁺¹−3   (1)

Hướng dẫn giải:

• Với n = 1 ta có u₁ = 1 = 2²−3.

Vậy (1) đúng với n = 1

• Giả sử (1) đúng với n = k tức là ta có  u_k = 2^k+1−3
• Ta chứng minh (1) đúng với n = k+1, tức là phải chứng minh u_k+1 = 2^k+2−3.

Thật vậy theo giả thiết qui nạp ta có:

u_k+1 = 2u_k + 3 = 2(2^k+1 − 3) + 3 = 2^k+2 − 3

Vậy (1) đúng với n = k+1 do đó (1) đúng với mọi n ∈ N^∗.

---

Hãy xét tính tăng, giảm của các dãy số sau :

a. Dãy số (u_n) với u_n = n³−3n²+5n−7;

b. Dãy số (x_n) với \({x_n} = \frac{{n + 1}}{{{3^n}}}\)

c. Dãy số (a_n) với \({a_n} = \sqrt {n + 1}  - \sqrt n \)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có:

u_n+1−u_n = (n+1)³−3(n+1)²+5(n+1)−7−(n³−3n²+5n−7) 

             = 3n²−3n+3 > 0,∀n ∈ N^∗

⇒ u_n+1 > u_n ⇒ (u_n) là dãy số tăng.

Câu b:

Ta có:

\(\frac{{{x_n}}}{{{x_{n + 1}}}} = \frac{{n + 1}}{{{3^n}}}.\frac{{{3^{n + 1}}}}{{n + 2}} = \frac{{3\left( {n + 1} \right)}}{{n + 2}} = \frac{{3n + 3}}{{n + 2}} > 1,\forall n \in {N^*}\)

⇒ x_n > x_n+1

⇒ (x_n) là dãy số giảm.

Câu c:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
{a_n} = \sqrt {n + 1}  - \sqrt n  = \frac{1}{{\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }}\\
\frac{{{a_n}}}{{{a_{n + 1}}}} = \frac{{\sqrt {n + 2}  + \sqrt {n + 1} }}{{\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }} > 1\\
 \Rightarrow {a_n} > {a_{n + 1}}
\end{array}\)

⇒ (a_n) là dãy số giảm.

---

Chứng minh rằng dãy số (u_n) với \({u_n} = \frac{{2n + 3}}{{3n + 2}}\) là một dãy số giảm và bị chặn.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
{u_n} = \frac{{2n + 3}}{{3n + 2}} = \frac{{\frac{2}{3}\left( {3n + 2} \right) + \frac{5}{3}}}{{3n + 2}} = \frac{2}{3} + \frac{5}{{3\left( {3n + 2} \right)}}\\
{u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{5}{3}\left( {\frac{1}{{3n + 5}} - \frac{1}{{3n + 2}}} \right) < 0\\
 \Rightarrow {u_{n + 1}} < {u_n}
\end{array}\)

⇒ (u_n) là dãy số giảm

Ta lại có \(0 < \frac{{2n + 3}}{{3n + 2}} \le 1,\forall n \in {N^*}\)

Vậy (u_n) là dãy số giảm và bị chặn.

 

Trên đây là nội dung chi tiết Giải bài tập nâng cao Toán 11 Chương 3 Bài 2 Dãy số với hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. Hoc247 hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 11 học tập thật tốt.