Giải Toán 11 SGK nâng cao Chương 2 Luyện tập (trang 67)

Khai triển (3x+1)¹⁰ cho tới x³.

Hướng dẫn giải:

\(\begin{array}{l}
{\left( {3x + 1} \right)^{10}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {\left( {3x} \right)^k} = 1 + C_{10}^1\left( {3x} \right) + C_{10}^2{\left( {3x} \right)^2} + C_{10}^3{\left( {3x} \right)^3} + ...\\
 = 1 + 30x + 405{x^2} + 3240{x^3} + ....
\end{array}\)

---

Tìm hệ số của x⁷ trong khai triển của (3−2x)¹⁵

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\({\left( {3 - 2x} \right)^{15}} = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k{3^{15 - k}}{{\left( { - 2x} \right)}^k}} \)

Hệ số của x⁷ là \(C_{15}^7{.3^8}{\left( { - 2} \right)^7} =  - C_{15}^7{.3^8}{.2^7}\) (ứng với k = 7)

---

Tính hệ số của x²⁵y¹⁰ trong khai triển của (x³+xy)¹⁵

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\({\left( {{x^3} + xy} \right)^{15}} = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k{{\left( {{x^3}} \right)}^{15 - k}}{{\left( {xy} \right)}^k}} \)

Số hạng chứa x²⁵y¹⁰ ứng với k = 10 là:

\(C_{15}^{10}{\left( {{x^3}} \right)^5}{\left( {xy} \right)^{10}} = C_{15}^{10}{x^{25}}{y^{10}}\)

Vậy hệ số của  x²⁵y¹⁰ là \(C_{15}^{10} = 3003\)

---

Biết rằng hệ số của xⁿ⁻² trong khai triển \({\left( {x - \frac{1}{4}} \right)^n}\) bằng 31. Tìm n.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\({\left( {x - \frac{1}{4}} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{x^{n - k}}{{\left( { - \frac{1}{4}} \right)}^k}} \)

Hệ số của xⁿ⁻² là \(C_n^2{\left( { - \frac{1}{4}} \right)^2} = 31 \Rightarrow \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} = 16.31 \Rightarrow n = 32\)

 

Trên đây là nội dung chi tiết Giải bài tập nâng cao Toán 11 Chương 2 Luyện tập (trang 67) với hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. Hoc247 hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 11 học tập thật tốt.