Giải Toán 11 SGK nâng cao Chương 2 Bài 6 Biến ngẫu nhiên rời rạc

Một cuộc điều tra được tiến hành như sau : Chọn ngẫu nhiên một bạn học sinh trên đường và hỏi xem gia đình bạn đó có bao nhiêu người. Gọi X là số người trong gia đình bạn học sinh đó. Hỏi X có phải là biến ngẫu nhiên rời rạc không ? Vì sao ?

Hướng dẫn giải:

X là một biến ngẫu nhiên rời rạc vì:

- Giá trị của X là một số thuộc tập hợp {1, 2, …, 100} (vì số người trong mỗi gia đình ở Việt Nam chắc chắn không thể vượt quá 100).

- Giá trị của X là ngẫu nhiên (vì giá trị đó phụ thuộc vào bạn học sinh mà ta chọn một cách ngẫu nhiên).

---

Chọn ngẫu nhiên một gia đình trong số các gia đình có ba con. Gọi X là số con trai trong gia đình đó. Hãy lập bảng phân bố xác suất của X (giả thiết là xác suất sinh con trai là 0,5).

Hướng dẫn giải:

X là một biến ngẫu nhiên rời rạc. Tập hợp các giá trị của X là {0, 1, 2, 3}. Để lập bảng phân bố xác suất của X, ta phải tính các xác suất P(X = 0), P(X = 1), P(X = 2) và P(X = 3).

Không gian mẫu gồm 8 phần tử sau:

{TTT, TTG, TGT, TGG, GTT, GTG, GGT, GGG},

Trong đó chẳng hạn GTG chỉ giới tính ba người con lần lượt là Gái, Trai, Gái.

Như vậy không gian mẫu gồm 8 kết quả có đồng khả năng.

Gọi Ak­ là biến cố “Gia đình đó có k con trai” (k = 0, 1, 2, 3)

\(P\left( {X = 0} \right) = P\left( {{A_0}} \right) = \frac{1}{8}\) (vì chỉ có một kết quả thuận lợi cho A₀ là GGG);

\(P\left( {X = 1} \right) = P\left( {{A_1}} \right) = \frac{3}{8}\) (vì có ba kết quả thuận lợi cho A1 là TGG, GTG và GGT);

\(P\left( {X = 2} \right) = P\left( {{A_2}} \right) = \frac{3}{8}\) (vì có ba kết quả thuận lợi cho A₂ là GTT, TGT và TTG);

\(P\left( {X = 3} \right) = P\left( {{A_3}} \right) = \frac{3}{8}\) (vì có 1 kết quả thuận lợi cho A₃ là TTT).

Vậy bảng phân bổ xác suất của X là:

X	0	1	2	3
P	\(\frac{1}{8}\)	\(\frac{3}{8}\)	\(\frac{3}{8}\)	\(\frac{1}{8}\)

---

Số ca cấp cứu ở một bệnh viện vào tối thứ bảy là một biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân bố xác suất như sau:

X	0	1	2	3	4	5
P	0,15	0,2	0,3	0,2	0,1	0,05

Biết rằng, nếu có hơn 2 ca cấp cứu thì phải tăng cường thêm bác sĩ trực .

a. Tính xác suất để phải tăng cường thêm bác sĩ trực vào tối thứ bảy.

b. Tính xác suất để có ít nhất một ca cấp cứu vào tối thứ bảy.

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Gọi A là biến cố “Phải tăng bác sĩ trực”. Từ điều kiện của bài ra, ta có:

P(A) = P(X>2) = P(X=3)+P(X=4)+P(X=5) = 0,2+0,1+0,05 = 0,35

Câu b:

P(X > 0) = 1−P(X=0) = 1−0,15 = 0,85.

---

Số cuộc điện thoại gọi đến một tổng đài trong khoảng thời gian 1 phút vào buổi trưa (từ 12 giờ đến 13 giờ) là một biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân bố xác suất sau :

X	0	1	2	3	4	5
P	0,3	0,2	0,15	0,15	0,1	0,1

Tính xác suất để trong khoảng thời gian từ 12 giờ 30 phút đến 12 giờ 31 phút có nhiều hơn hai cuộc gọi.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

P(X>2) = P(X=3)+P(X=4)+P(X=5) = 0,15+0,1+0,1 = 0,35

---

Tính kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên rời rạc X trong bài tập 44 (tính chính xác đến hàng phần trăm).

Hướng dẫn giải:

Ta có: X = {0, 1, 2, 3}

Bảng phân bố xác suất của X là:

X	0	1	2	3
P	\(\frac{1}{8}\)	\(\frac{3}{8}\)	\(\frac{3}{8}\)	\(\frac{1}{8}\)

Kỳ vọng của X là:

\(E\left( X \right) = {x_1}{p_1} + {x_2}{p_2} + {x_3}{p_3} + {x_4}{p_4} = 0.\frac{1}{8} + 1.\frac{3}{8} + 2.\frac{3}{8} + 3.\frac{1}{8} = 1,5\)

Phương sai của X là:

\(V\left( X \right) = {\left( {{x_1} - 1,5} \right)^2}{p_1} + {\left( {{x_2} - 1,5} \right)^2}{p_2} + {\left( {{x_3} - 1,5} \right)^2}{p_3} + {\left( {{x_4} - 1,5} \right)^2}{p_4} = 0,75\)

Độ lệch chuẩn của X là: \(\sigma \left( X \right) = \sqrt {V\left( X \right)}  \approx 0,87\)

---

Tính kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên rời rạc X trong bài tập 45 (tính chính xác đến hàng phần trăm).

Hướng dẫn giải:

Ta có: X = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

Bảng phân bố xác suất của X là:

X	0	1	2	3	4	5
P	0,15	0,2	0,3	0,2	0,1	0,05

Kỳ vọng của X là:

E(X) = 0.0,15+1.0,2+2.0,3+3.0,2+4.0,1+5.0,05 = 2,05

Phương sai:

V(X) = (0−2,05)².0,15+(1−2,05)².0,2+(2−2,05)².0,3+(3−2,05)².0,2+(4−2,05)².0,1+(5−2,05)².0,05 ≈ 1,85

Độ lệch chuẩn của X là: \(\sigma \left( X \right) = \sqrt {V\left( X \right)}  \approx 1,36\)

---

Tính kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên rời rạc X trong bài tập 46 (tính chính xác đến hàng phần trăm).

Hướng dẫn giải:

Ta có: X = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

Bảng phân bố xác suất của X là:

X	0	1	2	3	4	5
P	0,3	0,2	0,15	0,15	0,1	0,1

Kỳ vọng của X là :

E(X) = 0.0,3+1.0,2+2.0,15+3.0,15+4.0,1+5.0,1 = 1,85

Phương sai:

V(X) = (0−1,85)².0,3+(1−1,85)².0,2+(2−1,85)².0,15+(3−1,85)².0,15+(4−1,85)².0,1+(5−1,85)².0,1 ≈ 2,83

Độ lệch chuẩn của X là:  \(\sigma \left( X \right) = \sqrt {V\left( X \right)}  \approx 1,68\)

 

Trên đây là nội dung chi tiết Giải bài tập nâng cao Toán 11 Chương 2 Bài 6 Biến ngẫu nhiên rời rạc với hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, trình bày khoa học. Hoc247 hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các bạn học sinh lớp 11 học tập thật tốt.