Đề thi vào lớp 10 môn Toán chuyên - Phổ thông Năng khiếu TP.HCM năm học 2018-2019 (có đáp án)

     ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HCM                                ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10

TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU                                  Năm học 2018 – 2019

   HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH LỚP 10                                 Môn thi: TOÁN (chuyên)

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề

Bài 1. (1,5 điểm) Cho các phương trình  và  với m là tham số
a) Tìm m để các phương trình \({x^2} - x + m = 0\left( 1 \right)\) (1) và \(m{{\rm{x}}^2} - x + 1 = 0\left( 2 \right)\) (2) đều có 2 nghiệm dương phân biệt
b) Giả sử điều kiện ở câu a) được thỏa mãn, gọi \({x_1},{x_2}\) là nghiệm của (1) và \({x_3},{x_4}\) là nghiệm của (2). Chứng minh rằng  \({x_1}{x_2}{x_3} + {x_2}{x_3}{x_4} + {x_3}{x_4}{x_1} + {x_4}{x_1}{x_2} > 5\)

Bài 2. (2 điểm) Cho a, b là hai số nguyên thỏa mãn \({a^3} + {b^3} > 0\)
a) Chứng minh rằng \({a^3} + {b^3} \ge a + b > 0\)
b) Chứng minh rằng \({a^3} + {b^3} \ge {a^2} + {b^2}\)
c) Tìm tất cả các bộ số x, y, z, t nguyên sao cho \({x^3} + {y^3} = {z^2} + {t^2}\) và \({z^3} + {t^3} = {x^2} + {y^2}\)

Bài 3. (2 điểm) Cho \({A_n} = {2018^n} + {2032^n} - {1964^n} - {1984^n}\) với n là số tự nhiên
a) Chứng minh với mọi số tự nhiên n thì \({A_n}\) chia hết cho 51
b) Tìm tất cả những số tự nhiên n sao cho \({A_n}\) chia hết cho 45

Bài 4. (3 điểm) Cho tam giác ABC nhọn. Một đường tròn qua B, C cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại E và F; BF cắt CE tại D. Lấy điểm K sao cho tứ giác DBKC là hình bình hành
a) Chứng minh rằng \(\Delta KBC\) đồng dạng với \(\Delta DF{\rm{E}}\) , \(\Delta AKC\) đồng dạng với \(\Delta AD{\rm{E}}\)
b) Hạ DM vuông góc với AB, DN vuông góc với AC. Chứng minh rằng MN vuông góc với AK
c) Gọi I là trung điểm AD, J là trung điểm MN. Chứng minh rằng đường thẳng Ị đi qua trung điểm của cạnh BC
d) Đường thẳng Ị cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác IMN tại T \(\left( {I \ne T} \right)\). Chứng minh rằng AD tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác DTJ

Bài 5. (1,5 điểm) Đội văn nghệ của một trường THCS có 8 học sinh. Nhà trường muốn thành lập các nhóm tốp ca, mỗi nhòm gồm đúng 3 học sinh, (mỗi học sinh có thể tham gia vài nhóm tốp ca khác nhau). Biết rằng hai nhóm tốp ca bất kì có chung nhau nhiều nhất một học sinh
a) Chứng minh rằng không có học sinh nào tham gia từ 4 nhóm tốp ca trở lên
b) Có thể thành lập được nhiều nhất là bao nhiêu nhóm tốp ca như vậy.

{-- xem đầy đủ nội dung ở phần xem online hoặc tải về --}

Trên đây là trích dẫn nội dung đề thi vào lớp 10 môn Toán chuyên của trường Phổ thông năng khiếu TPHCM năm học 2018 - 2019. Để xem đầy đủ nội dung của đề thi các em vui lòng đăng nhập và chọn Xem online và Tải về.

Các em có thể quan tâm đến:

• Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán (không chuyên) Phổ thông Năng khiếu TP. HCM năm 2018 - 2019

Chúc các em học tốt