Chuyên đề Tính chất cơ bản của phân thức Toán 8

CHUYÊN ĐỀ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC

1. Một phân thức đại số là một biểu thức có dạng \(\frac{\text{A}}{\text{B}}\) trong đó A, B là những đa thức và B là đa thức khác 0.

2. Hai phân thức \(\frac{\text{A}}{\text{B}}\) và \(\frac{\text{C}}{\text{D}}\) gọi là bằng nhau nếu A.D = B.C.

3. Tính chất cơ bản của phân thức :

\(\frac{\text{A}}{\text{B}}\text{ = }\frac{\text{A}\text{.M}}{\text{B}\text{.M}}\)  (M là một đa thức khác đa thức 0).

\(\frac{\text{A}}{\text{B}}\text{ = }\frac{\text{A:N}}{\text{B:N}}\) (N là một nhân tử chung).

4. Quy tắc đổi dấu : \(\frac{\text{A}}{\text{B}}\text{ = }\frac{\text{-A}}{\text{-B}}\text{.}\)

5. Quy tắc rút gọn phân thức :

Phân tích tử và mẫu thành nhân tử ;

Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.

6. Quy tắc quy đồng mẫu thức :

Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung ;

Tìm nhân tử phụ của mỗi phân thức ;

Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.

Ví dụ 1. Hai phân thức sau có bằng nhau không ? Vì sao ?

\(\frac{\text{a+3}}{\text{a-4}}\) và \(\frac{\text{a+6}}{\text{a-8}}\).

 Giải. Ta có \(\left( a + 3 \right)\left( a - 8 \right) = {{a}^{2}} - 5a - 24 ; \left( a - 4 \right)\left( a + 6 \right) = {{a}^{2}} + 2a - 24.\)

Vì \({{\text{a}}^{\text{2}}}\text{ - 5a - 24 }\ne \text{ }{{\text{a}}^{\text{2}}}\text{ + 2a - 24}\) nên hai phân thức đã cho không bằng nhau.

Ví dụ 2. Cho ad = bc trong đó b \(\ne \) 0, 3b \(\ne \) d Chứng minh rằng : \(\frac{\text{3a-c}}{\text{3b-d}}\text{ = }\frac{\text{a}}{\text{b}}\text{.}\)

Giải: Ta có:  (3a - c)b = 3ab - bc     = 3ab - ad.       (1)

(3b - d)a = 3ab - ad.                (2)

Từ (1) và (2) suy ra (3a - c)b = (3b - d)a.

Do đó \(\frac{\text{3a-c}}{\text{3b-d}}\text{ = }\frac{\text{a}}{\text{b}}\text{.}\) 

Ví dụ 3. Cho   a > b > 0. Chứng minh rằng \(\frac{{{\text{(a+b)}}^{\text{2}}}}{{{\text{a}}^{\text{2}}}\text{-}{{\text{b}}^{\text{2}}}}\text{ = }\frac{{{\text{a}}^{\text{2}}}\text{+}{{\text{b}}^{\text{2}}}}{{{\text{(a-b)}}^{\text{2}}}}\text{.}\)

Giải. Vì a > b > 0 nên a + b>0; a – b > 0.

Vận dụng tính chất cơ bản của phân thức ta có 

\(\frac{{{\left( \text{a + b} \right)}^{\text{2}}}}{{{\text{a}}^{\text{2}}}\text{ - }{{\text{b}}^{\text{2}}}}=\frac{{{\left( \text{a + b} \right)}^{\text{2}}}}{\left( \text{a + b} \right)\left( \text{a -b} \right)}=\frac{\text{a + b}}{\text{a - b}}=\frac{\left( \text{a }\!\!~\!\!\text{ + b} \right)\left( \text{a }\!\!~\!\!\text{ - b} \right)}{\left( \text{a }\!\!~\!\!\text{ - b} \right)\left( \text{a }\!\!~\!\!\text{ - b} \right)}=\frac{{{\text{a}}^{\text{2}}}\text{ - }\!\!~\!\!\text{  }\!\!~\!\!\text{ }{{\text{b}}^{\text{2}}}}{{{\left( \text{a - b} \right)}^{\text{2}}}}<\frac{{{\text{a}}^{\text{2}}}\text{ + }\!\!~\!\!\text{  }\!\!~\!\!\text{ }{{\text{b}}^{\text{2}}}}{{{\left( \text{a - b} \right)}^{\text{2}}}}.\) 

\(\left( \text{v }\!\!\grave{\mathrm{i}}\!\!\text{  0  }{{\text{a}}^{\text{2}}}\text{ - }{{\text{b}}^{\text{2}}}\text{  }{{\text{a}}^{\text{2}}}\text{ + }{{\text{b}}^{\text{2}}} \right)\text{.}\)

Ví dụ 4. Cho phân thức \(\text{P = }\frac{{{\text{x}}^{\text{4}}}\text{-}{{\text{x}}^{\text{3}}}\text{-x+1}}{{{\text{x}}^{\text{4}}}\text{+}{{\text{x}}^{\text{3}}}\text{+3}{{\text{x}}^{\text{2}}}\text{+2x+2}}\)

Rút gọn rồi chứng tỏ rằng phân thức p luôn có giá trị không âm với mọi giá trị của x.

\(\text{P = }\frac{{{\text{x}}^{\text{3}}}\text{(x - l) - (x - l)}}{{{\text{x}}^{2}}\text{(}{{\text{x}}^{2}}\text{+x+l) + 2(}{{\text{x}}^{2}}\text{+x+1)}}=\frac{\text{(x - l) - (}{{\text{x}}^{3}}\text{ - l)}}{\text{(}{{\text{x}}^{2}}\text{+x+l) + 2(}{{\text{x}}^{2}}\text{+2)}}\)

\(=\frac{{{\text{(x - l)}}^{2}}\text{(}{{\text{x}}^{2}}\text{+x+l)}}{\text{(}{{\text{x}}^{2}}\text{+x+l) + 2(}{{\text{x}}^{2}}\text{+2)}}=\frac{{{\text{(x - l)}}^{2}}}{{{\text{(x - l)}}^{2}}}\ge 0,\) với mọi x.

..........

 ---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

• Hai phân thức bằng nhau. Tính chất cơ bàn

1. Tìm đa thức M trong các trường hợp sau :

\(\text{a}{{\text{)}}^{{}}}\frac{{{\text{x}}^{\text{3}}}\text{+27}}{{{\text{x}}^{\text{2}}}\text{-3x+9}}\text{ = }\frac{\text{x+3}}{\text{M}}\text{;                             b) }\frac{\text{M}}{\text{x+4}}\text{ = }\frac{{{\text{x}}^{\text{2}}}\text{-8x+16}}{\text{16-}{{\text{x}}^{\text{2}}}}\text{;}\) 

\(\text{c}{{\text{)}}^{{}}}\frac{\text{x-2y}}{\text{M}}\text{ = }\frac{\text{3}{{\text{x}}^{\text{2}}}\text{-7xy+2}{{\text{y}}^{\text{2}}}}{\text{3}{{\text{x}}^{\text{2}}}\text{+5xy-2}{{\text{y}}^{\text{2}}}}\text{.}\)

2. Hai phân thức sau có bằng nhau không ? Vì sao ?

3. Cho ad = bc trong đó cd \(\ne \) 0 và \({{\text{c}}^{\text{2}}}\text{ }\ne \text{ 2}{{\text{d}}^{\text{2}}}\). Chứng minh rằng \(\frac{{{\text{a}}^{\text{2}}}\text{-2}{{\text{b}}^{\text{2}}}}{{{\text{c}}^{\text{2}}}\text{-2}{{\text{d}}^{\text{2}}}}\text{ = }\frac{\text{ab}}{\text{cd}}\text{.}\)  

4. Viết các đa thức sau dưới dạng một phân thức đại số với tử và mẫu là những đa thức có hai hạng tử :

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{{\rm{a) A  =  }}{{\rm{x}}^{{\rm{35}}}}{\rm{  +  }}{{\rm{x}}^{{\rm{34}}}}{\rm{  +  }}{{\rm{x}}^{{\rm{33 }}}}{\rm{ +  }}...{\rm{  +  x  +  1 ;}}}\\
{{\rm{b) B  =  }}\left( {{\rm{x  -  l}}} \right)\left( {{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{  +  l}}} \right)\left( {{{\rm{x}}^{\rm{4}}}{\rm{  +  1}}} \right)...{\rm{ }}\left( {{{\rm{x}}^{{\rm{64}}}}{\rm{  +  1}}} \right){\rm{.}}}
\end{array}\) 

.........

 ---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần nội dung tài liệu Chuyên đề Tính chất cơ bản của phân thức Toán 8. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.