Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 6 trường THCS Nguyễn Du

TRƯỜNG THCS NGUYỄN DU

ĐỀ THI HSG LỚP 6 MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 120 phút)

Câu 1 : (2 điểm) Cho biểu thức \(A = \frac{{{a^3} + 2{a^2} - 1}}{{{a^3} + 2{a^2} + 2a + 1}}\)

a, Rút gọn biểu thức

b, Chứng minh rằng nếu a là số nguyên thì giá trị của biểu thức tìm được của câu a, là một phân số tối giản.

Câu 2: (1 điểm)

Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số \(\overline {abc} \) sao cho \(\overline {abc}  = {n^2} - 1\) và \(\overline {cba}  = {(n - 2)^2}\) 

Câu 3: (2 điểm)

a. Tìm n để n² + 2006 là một số chính phương

b. Cho n là số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi n² + 2006 là số nguyên tố hay là hợp số.

Câu 4: (2 điểm)

a. Cho a, b, n \( \in \) N^* Hãy so sánh \(\frac{{a + n}}{{b + n}}\) và \(\frac{a}{b}\)

b. Cho  A = \(\frac{{{{10}^{11}} - 1}}{{{{10}^{12}} - 1}}\);      B = \(\frac{{{{10}^{10}} + 1}}{{{{10}^{11}} + 1}}\). So sánh A và B.

Câu 5: (2 điểm)

Cho 10 số tự nhiên bất kỳ :     a₁, a₂, ....., a₁₀. Chứng minh rằng thế nào cũng có một số  hoặc tổng một số các số liên tiếp nhau trong dãy trên chia hết cho 10.

Câu 6: (1 điểm)

Cho 2006 đường thẳng trong đó bất kì 2 đườngthẳng nào cũng cắt nhau. Không có 3 đường thẳng nào đồng qui. Tính số giao điểm của chúng.

ĐÁP ÁN

Câu 1:

Ta có: \(A = \frac{{{a^3} + 2{a^2} - 1}}{{{a^3} + 2{a^2} + 2a + 1}}\) = \(\frac{{(a + 1)({a^2} + a - 1)}}{{(a + 1)({a^2} + a + 1)}} = \frac{{{a^2} + a - 1}}{{{a^2} + a + 1}}\)

Điều kiện đúng a ≠  -1   ( 0,25 điểm).

Rút gọn đúng cho  0,75 điểm.

b.Gọi d là ước chung lớn nhất của  a² + a – 1 và a²+a +1               (0,25đ).

Vì a² + a – 1 =  a(a+1) – 1   là số lẻ nên d là số lẻ

Mặt khác, 2 =  [ a²+a +1 – (a² + a – 1) ]  d

Nên d = 1 tức là a² + a + 1  và a² + a – 1   nguyên tố cùng nhau.     (0,5đ)

Vậy biểu thức A là phân số tối giản. ( 0,25 điểm)

Câu 2:  

\(\overline {abc} \) = 100a + 10 b + c = n² - 1                                   (1)

\(\overline {cba} \) = 100c + 10 b + c = n² – 4n + 4  (2)                          (0,25đ)

Từ (1) và (2) => 99(a – c) = 4 n – 5 => 4n – 5 \( \vdots \) 99 (3)     (0,25đ)

Mặt khác:  100 \( \le \) n²-1 \( \le \) 999 <=> 101 \( \le \) n² \( \le \) 1000 <=> 11 \( \le \) n \( \le \) 31 <=> 39 \( \le \) 4n – 5 \( \le \) 119 (4)   ( 0,25đ)

 Từ (3) và (4) => 4n – 5  =  99 => n = 26

Vậy: \(\overline {abc} \) = 675   ( 0,25đ)

.........

 ---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Câu1:

a. Tìm các số tự nhiên x, y. sao cho (2x + 1)(y – 5) = 12

b.Tìm số tự nhiên sao cho 4n-5 chia hết cho 2n-1

c. Tìm tất cả các số B = \(\overline {62xy427} \), biết rằng số B chia hết cho 99

Câu 2.

a. chứng tỏ rằng \(\frac{{12n + 1}}{{30n + 2}}\) là phân số tối giản.

b. Chứng minh rằng : \(\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{{100}^2}}} < 1\) 

Câu 3:

Một bác nông dân mang cam đi bán. Lần thứ nhất bán 1/2số cam và 1/2 quả; Lần thứ 2 bán 1/3 số cam còn lạivà 1/3 quả ; Lần thứ 3 bán 1/4số cam còn lại và 3/4 quả. Cuối cung còn lại 24 quả . Hỏi số cam bác nông dân đã mang đi bán .

Câu 4: Cho 101 đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào đồng quy. Tính số giao điểm của chúng.

..........

 ---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Bài 1:(1,5đ)

Tìm x

a) 5^x = 125;                

b) 3^2x = 81 ;                            

c)  5^2x-3 – 2.5² = 5².3

Bài 2: (1,5đ)

Cho a là số nguyên. Chứng minh rằng: \(\left| a \right| < 5 \Leftrightarrow  - 5 < a < 5\) 

Bài 3: (1,5đ)

Cho a là một số nguyên. Chứng minh rằng:

a. Nếu a dương thì số liền sau a cũng dương.

b. Nếu a âm thì số liền trước a cũng âm.

c. Có thể kết luận gì về số liền trước của  một số dương và số liền sau của một số âm?

Bài 4: (2đ)

Cho 31 số nguyên trong đó tổng của 5 số bất kỳ là một số dương. Chứng minh rằng tổng của 31 số đó là số dương.

.........

 ---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Câu 1.  Tính:

a.  A = 4 + 2 ² + 2 ³ + 2 ⁴ +. . . + 2 ²⁰

b.  tìm x biết:  ( x + 1) + ( x + 2) + . . . + ( x + 100) = 5750.

Câu 2.

a. Chứng minh rằng nếu: \(\left( {\overline {ab} \; + \;\overline {cd} \; + \;\overline {eg} } \right) \vdots 11\) thì \(\overline {abc\deg }  \vdots 11\) 

b. Chứng minh rằng:  10 ²⁸ + 8 \( \vdots \) 72.

Câu 3. 

Hai lớp 6A; 6B cùng thu nhặt một số giấy vụn bằng nhau. Lớp 6A có 1 bạn thu được 26 kg còn lại mỗi bạn thu được 11 kg ; Lớp 6B có 1 bạn thu được 25 kg còn lại mỗi bạn thu được 10kg . Tính số học sinh mỗi lớp biết rằng số giấy mỗi lớp thu được trong khoảng 200kg đến 300kg.

.........

 ---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần đáp án của đề thi vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Câu 1 (3đ):

a) So sánh: 222³³³ và 333²²²

b) Tìm các chữ số x và y để số \(\overline {1x8y2} \) chia hết cho 36

c) Tìm số tự nhiên a biết 1960 và 2002 chia  cho a có cùng số dư là 28

Câu 2 (2đ):

Cho : S = 3⁰ + 3² + 3⁴ + 3⁶ + ... + 3²⁰⁰²

a) Tính S

b) Chứng minh S  7

Câu 3 (2đ):

Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết rằng khi chia số này cho 29 dư 5 và chia cho 31 dư 28

Câu 4 (3đ):

Cho góc AOB = 135⁰. C là một điểm nằm trong góc AOB biết  góc BOC = 90⁰

a) Tính góc AOC

b) Gọi OD là tia đối của tia OC. So sánh hai góc AOD và BOD

..........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Trên đây là một phần nội dung tài liệu Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 6 trường THCS Nguyễn Du. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.