Các dạng bài tập nâng cao về số nguyên tố Toán 6

CÁC DẠNG BÀI TẬP NÂNG CAO VỀ SỐ NGUYÊN TỐ

Phương pháp: Cách tìm chữ số tận cùng

• Các chữ số cuối cùng của 1ⁿ là 1.

• Các chữ số cuối cùng của 5ⁿ là 5 với n>0

• Các chữ số cuối cùng của 2ⁿ được lặp lại theo chu kì 4k + 1, với k là số tự nhiên và 1 = 0,3 , tức là:

   + n=4,8,…,4k+0 có chung chữ số cuối cùng là 6;

   + n=1,5,9,…,4k+1 có chung chữ số cuối cùng là 2;

   + n=2,6,10,…,4k+2 có chung chữ số cuối cùng là 4;

   + n=3,7,11,…,4k+3 có chung chữ số cuối cùng là 8;

• Các chữ số cuối cùng của 3n được lặp lại theo chu kì 4k+1, với k là số tự nhiên và 1= 0,3 , tức là:

   + n=0,4,8,…,4k+0 có chung chữ số cuối cùng là 1;

   + n=1,5,9,…,4k+1 có chung chữ số cuối cùng là 3;

   + n=2,6,10,…,4k+2 có chung chữ số cuối cùng là 9;

   + n=3,7,11,…,4k+3 có chung chữ số cuối cùng là 7;

• Các chữ số cuối cùng của 7n được lặp lại theo chu kì 4k+1, với k là số tự nhiên và 1= 0,3 , tức là:

   + n=0,4,8,…,4k+0 có chung chữ số cuối cùng là 1;

   + n=1,5,9,…,4k+1 có chung chữ số cuối cùng là 7;

   + n=2,6,10,…,4k+2 có chung chữ số cuối cùng là 9;

   + n=3,7,11,…,4k+3 có chung chữ số cuối cùng là 3;

• các số có chữ số tận cùng là 0,1,5,6 khi nâng lên lũy thừa bậc bất kì thì được chữ số tận cùng vẫn không thay đổi

• các số có chữ số tận cùng là 4,9 khi nâng lên lũy thừa bậc lẻ thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi

• các số có chữ số tận cùng là 3,7,9 khi nâng lên lùy thừa bận 4n (n là số tự nhiên) thì chữ số tận cùng là 1

• các số có chữ số tận cùng là 2,4,8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n là số tự nhiên) thì chữ số tận cùng là 6

Ví dụ 1: Chứng minh rằng các số sau đây là hợp số:

a) 2⁷+3¹¹+5¹³+7¹⁷+11¹⁹

b) 1+21²³+23¹²⁴+25¹²⁵

Hướng dẫn giải

a) Ta có: 2⁷+3¹¹+5¹³+7¹⁷+11¹⁹

Theo quy ước ta có:

2⁷ có chữ số tận cùng là 8

3¹¹ có chữ số tận cùng là 7

5¹³ luôn có chữ số tận cùng là 5

7¹⁷ có chữ số tận cùng là 7

11¹⁹ luôn có chữ số tận cùng là 1

Ta có: 2⁷+3¹¹+5¹³+7¹⁷+11¹⁹ có chữ số tận cùng là 8

Suy ra 2⁷+3¹¹+5¹³+7¹⁷+11¹⁹ chia hết cho 2.

Vậy, đây là hợp số.

b) Ta có :1+21²³+23¹²⁴+25¹²⁵

21²³ có chữ số tận cùng là 1

23¹²⁴ có chữ số tận cùng là 1 ( các số có chữ số tận cùng là 3 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n là số tự nhiên) thì có chữ số tận cùng là 1. Số đã cho có số mũ là 124 = 4.31)

25¹²⁵ luôn có chữ số tận cùng là 5

Nên 1+21²³+23¹²⁴+25¹²⁵ có chữ số tận cùng là 8

suy ra 1+21²³+23¹²⁴+25¹²⁵ chia hết cho 2.

vậy, đây là hợp số.

Ví dụ 2: Chứng minh rằng nếu ba số a, a+k, a+2k đều là các số nguyên tố lớn hơn 3, thì k chia hết cho 6

Hướng dẫn giải:

Do a, a + k, a + 2k đều là nguyên tố lớn hơn 3 nên đều là số lẻ và không chia hết cho 3.

• Vì a và a + k cùng lẻ nên a + k - a = k ⋮ 2. (1)

• Vì a, a + k, a + 2k đều không chia hết cho 3 nên khi chia cho 3 ít nhất hai số có cùng số dư, khi đó:

   + Nếu a và a + k có cùng số dư, thì suy ra: (a+k) - a = k ⋮ 3

   + Nếu a + k và a + 2k có cùng số dư, thì suy ra: (a+2k )- (a+k)= k ⋮ 3

   + Nếu a và a + 2k có cùng số dư, thì suy ra:

( a + 2k ) - a = 2k 3 nhưng (2,3) = 1 nên k 3

Vậy, ta luôn có k chia hết cho 3 (2)

Từ (1),(2) và do (2,3)=1 ta suy ra k ⋮ 6, đpcm.

Nhận xét: Trong lời giải trên, ta đã định hướng được rằng để chứng minh k ⋮ 6 thì cần chứng minh k ⋮ 2 và k ⋮ 3 và ở đó:

• Việc chứng minh k ⋮ 2 được đánh giá thông qua nhận định a, a + k,a + 2k đều là nguyên tố lẻ hơn kém nhau k đơn vị.

• Việc chứng minh k ⋮ 3 được đánh giá thông qua nhận định “ba số lẻ không chia hết cho 3 thì có ít nhất hai số có cùng số dư” và như vậy hiệu của hai số đó sẽ chia hết cho 3.

Ví dụ 3: Ta biết rằng có 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100. Tổng của 25 số nguyên tố đó là số chẵn hay lẻ?

Hướng dẫn giải:

Ta thấy trong 25 số nguyên tố có 1 số chẵn còn lại là 24 số lẻ. Tổng của 24 số lẻ là một số chẵn nên tổng của 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100 là số chẵn.

Ví dụ 4: Tổng của ba số nguyên tố bằng 1012. Tìm số nhỏ nhất trong ba số nguyên tố đó.

Hướng dẫn giải:

Vì tổng của 3 số nguyên tố bằng 1012, nên trong 3 số nguyên tố đó tồn tại một số nguyên tố chẵn. Mà số nguyên tố chẵn duy nhất là 2 và là số nguyên tố nhỏ nhất. Vậy số nguyên tố nhỏ nhất trong 3 số nguyên tố đó là 2

Câu 1: Tìm bốn số nguyên tố liên tiếp, sao cho tổng của chúng là số nguyên tố.

Giải

Tổng của 4 số nguyên tố là một số nguyên tố ⇒ tổng của 4 số nguyên tố là 1 số lẻ ⇒ trong 4 số đó tồn tại ít nhất một số nguyên tố chẵn. Mà số nguyên tố chẵn duy nhất là 2. Vậy 4 số nguyên tố cần tìm là: 2; 3; 5; 7

Câu 2: Tổng của hai số nguyên tố có thể bằng 2003 được không?

Giải

Vì tổng của 2 số nguyên tố bằng 2003, nên trong 2 số nguyên tố đó tồn tại 1 số nguyên tố chẵn. Mà số nguyên tố chẵn duy nhất là 2. Do đó số nguyên tố còn lại là 2001. Do 2001 chia hết cho 3 và 2001 > 3. Suy ra 2001 không phải là số nguyên tố. ⇒ Tổng của hai số nguyên tố không thể bằng 2003 .

Câu 3: Tìm số nguyên tố có ba chữ số, biết rằng nếu viết số đó theo thứ tự ngược lại thì ta được một số là lập phương của một số tự nhiên.

Giải

Gọi số tự nhiên đó là a.

Ta có 103 = 1000; 53 = 125 ⇒ 125 ≤ a 3 < 1000 ⇒ 5 ≤ a < 10

Ta có bảng sau:

a	5	6	7	8	9
a3	125	216	343	512	729
Số cần tìm	521	612	343	215	927
Kết luận	TM	loại	loại	loại	loại

Vậy số cần tìm là 521

Câu 4: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Biết p + 2 cũng là số nguyên tố. Chứng minh rằng p + 1 chia hết cho 6.

Giải

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng 6k-1 hoặc 6k+1nếu p=6k+1 thì p+2=6k+3=3(2k+1)chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên là hợp số(vô lí) do đó p=6k-1⇒p+1=6k chia hết cho 6(đpcm)

Câu 5: Một số nguyên tố p chia cho 42 có số dư r là hợp số. Tìm số dư r.

Giải

Ta có:

p = 42.k + r. = 2.3.7.k + r

Vì r là hợp số và r < 42 nên r phải là tích của 2 số r = x.y

x và y không thể là 2, 3, 7 và cũng không thể là số chia hết cho 2, 3, 7 được vì nếu thế thì p không là số nguyên tố.

Vậy x và y có thể là các số trong các số {5,11,13, ..}

Nếu x=5 và y=11 thì r = x.y =55 > 42

Vậy chỉ còn trường hợp x = 5, y = 5. Khi đó r = 25

Câu 6: Hai số nguyên tố sinh đôi là hai số nguyên tố hơn kém nhau 2 đơn vị. Tìm hai số nguyên tố sinh đôi nhỏ hơn 50.

Giải

Các số nguyên tố sinh đôi nhỏ hơn 50 là:3 và 5; 5 và 7; 11 và 13; 17 và 19; 29 và 31; 41 và 43.

Câu 7: Tìm số nguyên tố, biết rằng số đó bằng tổng của hai chữ số nguyên tố và bằng hiệu của hai số nguyên tố.

Giải

Giả sử a, b, c, d, e là các số nguyên tố (d > e)

Theo bài ra ta có: a = b + c = d – e (*)

Từ (*) ⇒ a > 2 ⇒ a là số nguyên tố lẻ

   + b + c = d – e là số lẻ.do b, d là các số nguyên tố ⇒ b, d là số lẻ ⇒ c, e là số chẵn.

   + c = e = 2 (do e, c là các số nguyên tố)

   + a = b + 2 = d – 2 ⇒ d = b + 4,vậy ta cần tìm số nguyên tố b sao cho b + 2, b + 4 cũng là số nguyên tố

   + b = 3

Vậy số nguyên tố cần tìm là 5

Trên đây là nội dung tài liệu Các dạng bài tập nâng cao về số nguyên tố Toán 6. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.