Toán 8 Cánh Diều Chương 5 Bài 5: Hình chữ nhật

Ví dụ: 

$\stackrel{}{}$Cho tứ giác ABCD có $\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=90°$ . Chứng minh ABCD là hình chữ nhật.

Hướng dẫn giải

Tứ giác ABCD có: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360°$

Suy ra $\widehat{D}=360°-\widehat{A}-\widehat{B}-\widehat{C}=90°$

Do đó $\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=90°$ .

Vậy tứ giác ABCD là hình chữ nhật.

Ví dụ:

Cho hình chữ nhật ABCD và hình bình hành ABEC. Chứng minh BD = BE.

Hướng dẫn giải

Ta có: ABCD là hình chữ nhật nên AC = BD;

ABEC là hình bình hành nên BE = AC.

Suy ra BD = BE (vì cùng bằng AC).

Vậy BD = BE.

Ví dụ:

Cho tam giác ABC có đường trung tuyến $AM=\frac{1}{2}BC$ . Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA. Chứng minh:

a) Tứ giác ABDC là hình chữ nhật

b) Tam giác ABC vuộng tại A.

Hướng dẫn giải

a) Vì tứ giác ABDC có hai đường chéo AD, BC cắt nhau tại trung điểm M của mỗi đường nên ABDC là hình bình hành.

Do $AM=\frac{1}{2}BC$ và $AM=\frac{1}{2}AD$ (vì M là trung điểm của AD) nên BC = AD.

Hình bình hành ABDC có hai đường chéo BC, AD bằng nhau nên ABDC là hình chữ nhật.

Vậy ABDC là hình chữ nhật.

b) Do ABDC là hình chữ nhật nên $\widehat{BAC}=90°$ .

Do đó tam giác ABC vuông tại A.

Bài 1. Tứ giác ABCD có AB ⊥ CD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của BC, BD, AD, AC. Chứng minh rằng EG = FH.

Hướng dẫn giải

Vì E là trung điểm của BC; H là trung điểm của AC .

Nên EH là đường trung bình của ΔBCD

Suy ra EF // CI

Kết hợp với AB ⊥ CD (gt) (4)

Kết hợp (*), (3) và (4)

Suy ra HE⊥ EF

Suy ra HEF = 90° (***)

Từ (**) và (***) ta có EFGH là hình chữ nhật.

Từ đó hai đường chéo EG = FH.

Vậy EG = FH.

Bài 2. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BD. Biết HB = 2 cm, HD = 6 cm. Tính độ dài AB, AD.

Hướng dẫn giải

Ta có: BD = HB + HD = 2 + 6 = 8 (cm).

Xét tam giác giác BHA vuông tại H ta có: BH² + AH² = AB²

Suy ra AH² = AB² – BH²

Suy ra AH² = AB² – 4 (1)

Xét tam giác AHD vuông tại H ta có: HD² + AH² = AD²

Suy ra AH² = AD² – HD²

Suy ra AH² = AD² – 3 (2)

Từ (1) và (2) suy ra AB² – 4 = AD² – 36 (3)

Xét tam giác ABD vuông tại A có:

AB² + AD² = DB² = 8² = 64

Thay AB² = 64 – AD² vào (3). Giải ra ta được AD² = 48 hay $AD=4\sqrt{3}$ .

Suy ra AB = 4 cm.

Vậy $AD=4\sqrt{3}$ cm và AB = 4 cm.

Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại A, các đường trung tuyến BM, CN cắt nhau tại G. Gọi D là điểm đối xứng với G qua M, gọi E là điểm đối xứng với G qua N. Tứ giác BEDC là hình gì? Vì sao?

Hướng dẫn giải

Ta có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G nên G là trọng tâm tam giác ABC.

Theo tính chất trọng tâm tam giác ta có: BG = 2GM

CG = 2GN

Lại có: G đối xứng với với D qua M suy ra GM = MD hay GD = 2GM

G đối xứng với E qua N suy ra GN = EN hay GE = 2GN

Do đó BG = GD và CG = GE

Suy ra G là trung điểm của BD và CE.

Xét tứ giác BCDE có: G là trung điểm của đường chéo BD

G là trung điểm đường chéo CE

Suy ra tứ giác BCDE là hình bình hành.

Lại có: $∆$ABC cân tại A nên AB = AC.

Mà M là trung điểm của AC, N là trung điểm AB nên BN = CM.

Xét $∆$BNC và $∆$CMB có:

Cạnh BC chung

BN = CM

$\widehat{NBC}=\widehat{MCB}$(do tam giác ABC cân tại A)

Do đó $∆$BNC = $∆$CMB (c.g.c)

Suy ra CN = BM (hai cạnh tương ứng)

Mà $CN=\frac{3}{4}EC$ và $\text{BM}=\frac{3}{4}BD$

Do đó EC = BD.

Xét hình bình hành BCDE có hai đường chéo EC và BD bằng nhau.

Vậy tứ giác BCDE là hình chữ nhật.

Qua bài học này, các em cần hoàn thành một số mục tiêu như sau: 

- Mô tả khái niệm hình chữ nhật.

- Giải thích tính chất hai đường chéo của hình chữ nhật.

- Nhận biết dấu hiệu để một hình bình hành la hình chữ nhật.

Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 8 Cánh Diều Chương 5 Bài 5 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết. 

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé! 

Khởi động trang 109 SGK Toán 8 Tập 1 Cánh diều - CD

Hoạt động 1 trang 109 SGK Toán 8 Tập 1 Cánh diều - CD

Hoạt động 2 trang 109 SGK Toán 8 Tập 1 Cánh diều - CD

Luyện tập 1 trang 110 SGK Toán 8 Tập 1 Cánh diều - CD

Hoạt động 3 trang 110 SGK Toán 8 Tập 1 Cánh diều - CD

Luyện tập 2 trang 111 SGK Toán 8 Tập 1 Cánh diều - CD

Bài 1 trang 111 SGK Toán 8 Tập 1 Cánh diều - CD

Bài 2 trang 111 SGK Toán 8 Tập 1 Cánh diều - CD

Bài 3 trang 111 SGK Toán 8 Tập 1 Cánh diều - CD

Bài 4 trang 111 SGK Toán 8 Tập 1 Cánh diều - CD

Bài 5 trang 112 SGK Toán 8 Tập 1 Cánh diều - CD

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!