Hình học 8 Bài 4: Hình lăng trụ đứng

Tóm tắt lý thuyết

1. Hình lăng trụ đứng

Hình lăng trụ đứng là hình có:

- Hai đáy là hai đa giác phẳng bằng nhau và nằm trong hai mặt phẳng song song với nhau.

- Các cạnh bên thì vuông góc với các mặt phẳng chứa các đa giác đáy. Các mặt bên của lăng trụ đứng là các hình chữ nhật.

Các cạnh bên của lăng trụ đứng thì song song với nhau và bằng nhau, độ dài cạnh bên là chiều cao của lăng trụ đứng.

Người ta gọi tên các hình lăng trụ theo tên của đa giác đáy: lăng trụ tam giác, lăng trụ tứ giác,…

Hình lăng trụ đứng mà đáy là đa giác đều được gọi là lăng trụ đều.

2. Hình hộp – Hình chữ nhật – Hình lập phương

a. Hình hộp đứng

Một hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp đứng.

Trong hình hộp đứng thì:

- Các mặt đáy là các hình bình hành.

- Các mặt bên đối diện là các hình chữ nhật bằng nhau.

b. Hình hộp chữ nhật

Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng, có đáy là hình chữ nhật.

Hình hộp chữ nhật có 6 mặt là hình chữ nhật, các mặt đối diện thì bằng nhau.

c, Hình lập phương

Hình lập phương là hình có 6 mặt là các hình vuông.

3. Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, thể tích của các hình

Ta kí hiệu:

\({S_{xq}}:\) Diện tích xung quanh

\({S_{tp}}:\) Diện tích toàn phần

V: thể tích

p: nửa chu vi đáy

h: Chiều cao

B: Diện tích đáy

a, b, c: là các kích thước của hình chữ nhật.

	Hình lăng trụ, hình hộp đứng	Hình hộp chữ nhật kích thước a, b, c	Hình lập phương cạnh a
\({S_{xq}}\)	2p.h	2(a+b)c	\(4{a^2}\)
\({S_{tp}}\)	2(p.h+B)	2(ab+bc+ca)	\(6{a^2}\)
V	B.h	abc	\({a^3}\)

Ví dụ 1: Chứng minh rằng các đường chéo của một hình chữ nhật thì bằng nhau.

Giải

Ta tính đường chéo A’C.

\(\Delta ABC\) vuông tại B nên: \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2}\) (1)

\(\Delta {\rm{AA}}' \bot \,mp(ABCD) \Rightarrow {\rm{AA}}' \bot AC\)

\( \Rightarrow \Delta {\rm{A}}'AC\) vuông tại A nên: \(A'{C^2} = A{C^2}{\rm{ + AA}}{'^2}\)

Vậy (1) và (2) suy ra: \(A'{C^2} = A{B^2} + A{C^2} + {\rm{A'}}{{\rm{A}}^2}\)

Vậy: Bình phương của đường chéo hình hộp chữ nhật thì bằng tổng bình phương của ba chiều của hình hộp chữ nhật.

Từ đây suy ra các đường chéo của hình hộp chữ nhật thì bằng nhau.

Ví dụ 2: Một lăng trụ tam giác đều cạnh đáy là a, chiều cao là h. Tính \({S_{xq}},\,{S_{tp}}\) và V của hình lăng trụ.

Giải

Lăng trụ tam giác đều là lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều.

Gọi H là trung điểm của BC.

\(\Delta ABC\) đều: \(HB = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}a\)

\(\Delta AHB\) vuông tại H: \(A{H^2} = AB - B{H^2} = {a^2} - {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = \frac{{3{a^2}}}{4}\)

\( \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow B = {S_{ABC}} = \frac{1}{2}BC.AH = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)

Ta có: \({S_{xq}} = 3.AB.AA' = 3a.h\)

\({S_{tp}} = {S_{xq}} + 2{S_{day}} = 3ah + 2\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = a\left( {\frac{{h + a\sqrt 3 }}{4}} \right)\)

\(V = B.h = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.h = \frac{{{a^2}h\sqrt 3 }}{4}.\)

Ví dụ 3: Chứng minh rằng tổng bình phương các cạnh của hình hộp chữ nhật thì bằng tổng bình phương của các đường chéo.

Giải

Ta có: \(A'{C^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2}\)

\(\begin{array}{l}A'{C^2} = A{B^2} + B{C^2} + AA{'^2}\\B'{D^2} = A{B^2} + A{D^2} + BB{'^2}\\C'{A^2} = D{C^2} + B{C^2} + CC{'^2}\\D'{B^2} = D{C^2} + A{D^2} + DD{'^2}\end{array}\)

\( \Rightarrow \) với \(AB = DC = A'B' = D'C'\)

\(\begin{array}{l}BC = AD = A'D' = B'C'\\{\rm{AA'}} = {\rm{ BB'}} = {\rm{ CC'}} = {\rm{DD}}'\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}A'{C^2} + B'{D^2} + C'{A^2} + D'{B^2} = A{B^2} + A'B{'^2} + D{C^2} + D'C{'^2} + A{D^2} + B{C^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + B'C{'^2} + A'D{'^2} + {\rm{AA}}{{\rm{'}}^2} + BB{'^2} + CC{'^2} + {\rm{DD}}{'^2}.\end{array}\)

Nếu gọi các cạnh là a, b, c đường chéo là d, ta có:

\(4{d^2} = 4({a^2} + {b^2} + {c^2}).\)

Bài tập minh họa

Bài 1: Có 12 khối vuông hình lập phương cạnh 5cm. Người ta muốn xếp chúng vào các hộp có hình dạng là hình hộp chữ nhật.

1. Có bao nhiêu cách xếp vào các loại hộp hình hộp chữ nhật?

2. Người ta dùng giấy màu bọc các hộp ấy. Trong các cách xếp, cách nào tiết kiệm nhất (dùng ít giấy màu nhất, không kể các mép dán)?

Giải

1. Muốn xếp được 12 khối lập phương vào các hình hộp chữ nhật thì hình hộp chữ nhật phải chọn sao cho trên mỗi cạnh của nó phải chứ một số nguyên các khối lập phương nghĩa là số các khối lập phương xếp theo mỗi cạnh của hình hộp phải là một ước của 12. Số 12 có các ước tự nhiên là 1; 2; 3; 4; 6; 12. Do vậy ta có thể xếp theo các cách sau:

a) Xếp theo 1 x 1 x 12.

Cách xếp này cho ta một hình hộp chữ nhật có kích thước 5 x 5 x 60 (cm)

b) Xếp theo 1 x 2 x 6.

Cách xếp này cho ta một hình hộp chữ nhật có kích thước 5 x 10 x 30 (cm)

c) Xếp theo 1 x 3 x 4.

Cách xếp này cho ta một hình hộp chữ nhật có kích thước 5 x 15 x 20 (cm)

d) Xếp theo 2 x 2 x 3.

Cách xếp này cho ta một hình hộp chữ nhật có kích thước 10 x 10 x 15 (cm).

2. Áp dụng công thức:

\({S_{tp}} = 2(ab + bc + ca)\)

Ta tính ra diện tích toàn phần của các hình hộp chữ nhật a), b), c), d) như sau:

\(\begin{array}{l}a){\rm{ }}1250(c{m^2})\,\,\\b)\,\,1000(c{m^2})\,\\c)\,\,950(c{m^2})\,\\d)\,\,800(c{m^2})\,\end{array}\)

Như vậy, ta thấy hình hộp d) có diện tích toàn phần nhỏ nhất nghĩa là ta sử dụng ít giấy màu nhất để bao nó.

Vậy cách xếp d) là tiết kiệm nhất.

Bài 2: Người ta đào một đoạn mương dài 20m, sâu 1,5m. Trên bề mặt có chiều rồng 1,8m và đáy mương là 1,2m

1. Tính thể tích khối đất phải đào lên.

2. Người ta chuyển khối đất đi để rải lên một miến đất chữ nhật có kích thước 30 x 60m. Số đất được chuyển bằng một chiếc ô tô có thể chở mỗi chuyến \(6{m^3}\) đất. Hỏi:

a) Bề dày của lớp đất rải trên miếng đất?

b) Số chuyến ô tô cần để tải hết khối đất.

Giải

1. Thể tích cần tính coi như thể tích của một lăng trụ đứng chiều cao 20cm, đáy là hình thang cân có cạnh đáy lớn 1,8m, cạnh đáy nhỏ 1,2m và chiều cao 1,5

Đáp số: \(45\,\,({m^3})\)

2.

a. Bề dày của lớp đất rải trên miếng đất là 0,25m

b. Số chuyến ô tô cần để tải hết khối đất là 8 chuyến.

Bài 3: Một hộp đựng phấn có hình dạng hình chữ nhật kích thước 162mm x 91mm và cao 89mm, được xếp các viên phấn cũng có dạng hình hộp, đáy là hình vuông, cạnh 1cm và chiều cao mỗi viên phấn là 88mm. Xếp dựng đứng trong hộp. Tính:

1. Tổng số viên phấn.

2. Thể tích hộp đựng phấn

3. Thể tích hộp không sử dụng đến.

Giải

1. Tổng số viên phấn là 144 viên phấn

2. Thể tích hộp đựng phấn là 1301738 \((m{m^3})\)

3. Thể tích hộp không sử dụng đến là 34538 \((m{m^3})\)

Lời kết

Trên đây là bài học Hình học 8 Bài 4 Hình lăng trụ đứng và hướng dẫn Giải bài tập Hình học 8 Bài 4 sẽ giúp các em nắm được phương pháp giải các bài toán liên quan đến Hình lăng trụ đứng. Để củng cố kiến thức các em có thể làm bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 8 Bài 4. Các em cũng có thể nêu thắc mắc của mình ở phần Hỏi đáp Hình học 8 Bài 4 để được giải đáp. Cộng đồng Toán HOC247 chúc các em học thật tốt bài học này.