Giải bài 9.35 trang 83 SGK Toán 7 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Phương pháp giải

sử dụng GM= \(\frac{1}{3}\) AM để chứng minh  S(GMB) = \(\frac{1}{3}\)S(ABM) ,  S(GCM) = \(\frac{1}{3}\)S(ACM)

Lời giải chi tiết

a) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên GM= \(\frac{1}{3}\) AM

Kẻ BP ⊥ AM ta có S (GMB)= \(\frac{1}{2}\) BP . GM.

                            S ( ABM) =  \(\frac{1}{2}\) BP . AM.

Ta có S (GMB)= \(\frac{1}{2}\) BP . GM.

=>  S (GMB)= \(\frac{1}{2}\) BP . \(\frac{1}{3}\) AM

=>  S (GMB) = \(\frac{1}{3}\) AM. \(\frac{1}{2}\) BP

=> S (GMB)=  \(\frac{1}{3}\) S (ABM) (1)

Tương tự, kẻ CN ⊥ AM, ta có  S (GMC)= \(\frac{1}{2}\) CN . GM.

                                           S ( ACM) =  \(\frac{1}{2}\) CN . AM.

mà  GM= \(\frac{1}{3}\) AM

=> S (GMC)=  \(\frac{1}{3}\) S (ACM) (2)

Cộng 2 vế của (1) và (2) ta có: 

S (GMB) + S (GMC)=  \(\frac{1}{3}\) S (AMC) + \(\frac{1}{3}\) S (ABM)

=> S( GBC) = \(\frac{1}{3}\) S( ABC)

b) BP ⊥ AM => BP ⊥ AG

 CN ⊥ AM =>  CN ⊥ AG

Ta có S (GAB)= \(\frac{1}{2}\) BP . AG.

         S (GAC)= \(\frac{1}{2}\) CN . AG.

Xét ∆ BPM vuông tại P và ∆ CNM vuông tại N có:

  BM= CM ( M là trung điểm của BC)

\(\widehat{PMB}\) = \(\widehat{CMN}\) ( 2 góc đối đỉnh)

=> ∆ BPM =  ∆ CNM

=> BP = CN

=> S (GAB) = S (GAC)

Có AG= \(\frac{2}{3}\) AM

S (ACB) =  S (GAB) +  S (GAC) + S ( GCB)

=> S (ACB) =  S (GAB) +  S (GAC) + \(\frac{1}{3}\) S( ABC)

=> \(\frac{2}{3}\) S( ABC) = 2 S (GAC)

=> \(\frac{1}{3}\) S( ABC) = S (GAC) = S (GAB)

-- Mod Toán 7 HỌC247