Giải bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 5: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện

Mặt phẳng nghiêng thường được sử dụng trong lao động vì tính tiện dụng của nó. Quan sát hình mặt phẳng nghiêng (P) và mặt đất (Q) trong hình dưới đây và tìm hiểu tại sao:

\(\widehat{CAK}\) được gọi là góc hợp bởi đường thẳng d và (Q)

\(\widehat{CBK}\) được gọi là góc hợp bởi hai mặt phẳng (P) và (Q)

Cho đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\).

a) Trong trường hợp \(a\) vuông góc với \(\left( P \right)\), tìm góc giữa \(a\) và một đường thẳng \(b\) tuỳ ý trong \(\left( P \right)\).

b) Trong trường hợp \(a\) không vuông góc với \(\left( P \right)\), tìm góc giữa \(a\) và đường thẳng \(a'\) là hình chiếu vuông góc của \(a\) trên \(\left( P \right)\).

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Tính góc giữa các đường thẳng sau đây với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\):

a) \(AA'\);

b) \(BC'\);

c) \(A'C\).

Một tấm ván hình chữ nhật \(ABCD\) được dùng làm mặt phẳng nghiêng để kéo một vật lên khỏi hố sâu 2 m. Cho biết \(AB = 1\,m,AD = 3,5{\rm{ }}m\). Tính góc giữa đường thẳng \(BD\) và đáy hồ.

Cho hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) cắt nhau theo giao tuyến \(d\). Hãy gọi tên các nửa mặt phẳng có chung bờ \(d\). Các nửa mặt phẳng này chia không gian thành bao nhiêu phần?

Cho góc nhị diện \(\left[ {{P_1},d,{Q_1}} \right]\). Gọi \(O\) là một điểm tuỳ ý trên \(d\). \(Ox\) là tia nằm trong \(\left( P \right)\) và vuông góc với \(d\), \(Oy\) là tia nằm trong \(\left( Q \right)\) và vuông góc với \(d\) (Hình 6).

a) Nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa \(d\) và \(mp\left( {Ox,Oy} \right)\).

b) Nêu nhận xét về số đo của góc \(xOy\) khi \(O\) thay đổi trên \(d\).

Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) với \(O\) là tâm của đáy và có tất cả các cạnh đều bằng \(a\). Xác định và tính góc phẳng nhị diện:

a) \(\left[ {S,BC,O} \right]\);

b) \(\left[ {C,SO,B} \right]\).

Cho biết kim tự tháp Memphis tại bang Tennessee (Mỹ) có dạng hình chóp tứ giác đều với chiều cao 98 m và cạnh đáy 180 m. Tính số đo góc nhị diện tạo bởi mặt bên và mặt đáy.

(Nguồn: https://en.wikipedia.org/wiki/Memphis Pyramid)

Cho hình chóp \(S.ABCD\), đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a\) có \(O\) là giao điểm của hai đường chéo, \(\widehat {ABC} = {60^ \circ },SO \bot \left( {ABCD} \right),SO = a\sqrt 3 \). Tính khoảng cách từ \(O\) đến mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\).

Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có \(O\) là tâm của đáy và có tất cả các cạnh bằng nhau.

a) Tìm góc giữa đường thẳng \(SA\) và \(\left( {ABCD} \right)\).

b) Tim góc phẳng nhị diện \(\left[ {A,SO,B} \right];\left[ {S,AB,O} \right]\).

Cho hình chóp cụt lục giác đều \(ABCDEF.A'B'C'D'E'F'\) với \(O\) và \(O'\) là tâm hai đáy, cạnh đáy lớn và đáy nhỏ lần lượt là \(a\) và \(\frac{a}{2},OO' = a\)

a) Tìm góc giữa cạnh bên và mặt đáy.

b) Tìm góc phẳng nhị diện \(\left[ {O,AB,A'} \right];\left[ {O',A'B',A} \right]\).

Một con dốc có dạng hình lăng trụ đứng tam giác với kích thước như trong Hình 9.

a) Tính số đo góc giữa đường thẳng \(CA'\) và .

b) Tính số đo góc nhị diện cạnh \(CC'\).

Người ta định đào một cái hầm có dạng hình chóp cụt tứ giác đều có hai cạnh đáy là 14 m và 10 m. Mặt bên tạo với đáy nhỏ thành một góc nhị diện có số đo bằng 135°. Tính số mét khối đất cần phải di chuyển ra khỏi hầm.

Cho hình chóp S.ABC có đáy là hình vuông tâm O cạnh a, SA = $a\sqrt{3}$ và vuông góc với đáy. Xác định và tính góc giữa:

a) SB và (ABCD);

b) SC và (ABCD);

c) SD và (ABCD);

d) SB và (SAC).

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng 3. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm I của cạnh AB. Biết rằng mặt bên (SAB) là tam giác vuông cân tại S. Xác định và tính góc giữa:

a) SA và (ABC);

b) SC và (SAB).

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng $\frac{a\sqrt{15}}{6}$ . Tính số đo góc phẳng nhị diện [S, BC, A]?

Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC). Tam giác ABC vuông tại A, $\widehat{AB\text{}C}=30°$, AC = a, $SA=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Tính số đo góc phẳng nhị diện [S, BC, A]?