Giải bài tập Toán 11 Cánh Diều Chương 7 Bài 3: Đạo hàm cấp hai

Xét hàm số \(y = {x^3} - 4{x^2} + 5\).

a) Tìm \(y'\)?

b) Tìm đạo hàm của hàm số \(y'\)?

Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = \sin 3x\)?

Một vật rơi tự do theo phương thẳng đứng có phương trình \(s = \frac{1}{2}g{t^2}\), trong đó g là gia tốc rơi tự do, \(g \approx 9,8m/{s^2}\).

a) Tính vận tốc tức thời v(t) tại thời điểm \({t_0} = 4(s);{t_1} = 4,1(s)\)?

b) Tính tỉ số \(\frac{{\Delta v}}{{\Delta t}}\) trong khoảng thời gian \(\Delta t = {t_1} - {t_0}\)?

Tìm đạo hàm cấp hai của mỗi hàm số sau:

a) \(y = \frac{1}{{2x + 3}}\).

b) \(y = {\log _3}x\).

c) \(y = {2^x}\).

Tìm đạo hàm cấp hai của mỗi hàm số sau:

a) \(y = 3{x^2} - 4x + 5\) tại điểm \({x_0} = - 2\)

b) \(y = {\log _3}(2x + 1)\) tại điểm \({x_0} = 3\)

c) \(y = {e^{4x + 3}}\) tại điểm \({x_0} = 1\)

d) \(y = \sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)\) tại điểm \({x_0} = \frac{\pi }{6}\)

e) \(y = \cos \left( {3x - \frac{\pi }{6}} \right)\) tại điểm \({x_0} = 0\).

Một vật rơi tự do theo phương thẳng đứng có phương trình \(s = \frac{1}{2}g{t^2}\), trong đó g là gia tốc rơi tự do, \(g \approx 9,8m/{s^2}\).

a) Tính vận tốc tức thời của vật tại thời điểm \({t_0} = 2(s)\)?

b) Tính gia tốc tức thời của vật tại thời điểm \({t_0} = 2(s)\)?

Một chất điểm chuyển động theo phương trình \(s(t) = {t^3} - 3{t^2} + 8t + 1\), trong đó t > 0, t tính bằng giây và s(t) tính bằng mét. Tìm vận tốc tức thời, gia tốc tức thời của chất diểm:

a) Tại thời điểm t = 3(s).

b) Tại thời điểm mà chất điểm di chuyển được 7 (m).

Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang trên mặt phẳng không ma sát như Hình 7 , có phương trình chuyển động \(x = 4\sin t\), trong đó t tính bằng giây và x tính bằng centimet.

a) Tìm vận tốc tức thời và gia tốc tức thời của con lắc tại thời điểm t (s)?

b) Tìm vị trí, vận tốc tức thời và gia tốc tức thời của con lắc tại thời điểm \(t = \frac{{2\pi }}{3}(s)\)?

Tại thời điểm đó, con lắc di chuyển theo hướng nào?

Gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t₀ là:

A. f(t₀).

B. f’’(t₀).

C. f’(t₀).

D. –f’(t₀).

Cho hàm số f(x) = e^–x. Khi đó f’’(x) bằng:

A. e^–x.

B. – e^–x.

C. – e^x.

D. e^x.

Cho hàm số f(x) = ln(3x). Khi đó f’’(x) bằng:

A. $-\frac{1}{9x^2}.$

B. $-\frac{1}{x^2}.$

C. $\frac{3}{x^2}.$

D. $-\frac{3}{x^2}.$

Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{x}.$ Khi đó f’’(1) bằng:

A. 1.

B. –2.

C. 2.

D. –1.

Tìm đạo hàm cấp hai của mỗi hàm số sau:

a) $f\left(x\right)=\frac{1}{3x+5};$

b) $g\left(x\right)=2^{x+3x^2}.$

Cho hàm số f(x) = sinx . cosx . cos2x.

a) Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số.

b) Tính đạo hàm cấp hai của hàm số tại $x_0=\frac{\pi }{6}.$

Cho hàm số f(x) = x³ + 4x² + 5. Giải bất phương trình f’(x) – f’’(x) ≥ 0?

Một chất điểm chuyển động theo phương trình $s\left(t\right)=\frac{1}{3}{t}^3-3t^2+8t+2,$ trong đó t > 0, t tính bằng giây, s(t) tính bằng mét. Tính gia tốc tức thời của chất điểm:

a) Tại thời điểm t = 5 (s).

b) Tại thời điểm mà vận tốc tức thời của chất điểm bằng –1 m/s.

Một chất điểm có phương trình chuyển động $s\left(t\right)=3\sin \left(t+\frac{\pi }{3}\right),$ trong đó t > 0, t tính bằng giây, s(t) tính bằng centimet. Tính gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm $t=\frac{\pi }{2}\left(s\right).$