Bài tập 42 trang 122 SGK Toán 11 NC

Kí hiệu u₁, u₂, u₃ lần lượt là số hạng thứ nhất, thứ hai và thứ ba của cấp số nhân nói trong đề bài; gọi q là công bội của cấp số nhân đó.

Gọi d là công sai của cấp số cộng nhận u₁, u₂ và u₃ tương ứng là số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám.

Ta có: u₁ ≠ 0, vì nếu ngược lại thì u₂ = u₃ = 0, do đó u₁+u₂+u₃ = 0 ≠ \(\frac{{148}}{9}\)

Từ các giả thiết của đề bài ta có: u₂ = u₁q = u₁+3d và u₃ = u₂q = u₂+4d

Suy ra:

u₁(q−1) = 3d       (1)

u₂(q−1) = 4d       (2)

Xét hai trường hợp sau:

+ Trường hợp 1: q ≠ 1. Khi đó từ (1) và (2) suy ra d ≠ 0 (do u₁ ≠ 0) và \(q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{4}{3}\)

Từ đó, ta có:

\(\begin{array}{l}
\frac{{148}}{9} = {u_1} + {u_2} + {u_3} = {u_1}.\frac{{1 - {q^3}}}{{1 - q}}\\
 = {u_1}.\frac{{1 - {{\left( {\frac{4}{3}} \right)}^3}}}{{1 - \frac{4}{3}}} = {u_1}.\frac{{37}}{9} \Rightarrow {u_1} = 4\\
 \Rightarrow {u_2} = {u_1}q = \frac{{16}}{3} \Rightarrow {u_3} = {u_2}q = \frac{{64}}{9}
\end{array}\)

Ta có ba số vừa tìm được ở trên là các số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng có công sai \(d = \frac{4}{9}\) 

+ Trường hợp 2: q = 1. Khi đó u₁ = u₂ = u₃. Do đó \(\frac{{148}}{9} = 3{u_1}\)

Suy ra \({u_1} = {u_2} = {u_3} = \frac{{148}}{{27}}\)

Hiển nhiên ba số vừa tìm được ở trên là các số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng với công sai d = 0. Vậy có hai bộ ba số cần tìm là:

\({u_1} = 4,{u_2} = \frac{{16}}{3},{u_3} = \frac{{64}}{9}\) và \({u_1} = {u_2} = {u_3} = \frac{{148}}{{27}}\).

-- Mod Toán 11 HỌC247