Giải bài tập Toán 11 Chương 3 Bài 4 Cấp số nhân

Chứng minh các dãy số \((\frac{3}{5}. 2^n)\) , \((\frac{5}{2^{n}})\), \(((-\frac{1}{2})^{n})\) là các cấp số nhân.

Cho cấp số nhân với công bội q.

a) Biết \(u_1 = 2, u_6 = 486\). Tìm q

b) Biết  \(q =\frac{2}{3}\),  \(u_4 =\frac{8}{21}\). Tìm \(u_1\)

c) Biết \(u_1 = 3, q = -2\). Hỏi số 192 là số hạng thứ mấy?

Tìm các số hạng của cấp số nhân có năm số hạng, biết:

a) \(u_3 = 3\) và \(u_5 = 27\);

b) \(u_4 - u_2 = 25\) và \(u_3 - u_1 = 50\)

Tìm cấp số nhân có sau số hạng, biết rằng tổng của năm số hạng đầu là 31 và tổng của năm số hạng sau là 62.

Tỉ lệ tăng dân số của tỉnh X là 1,4%. Biết rằng số dân của tỉnh hiện nay là 1,8 triệu người. Hỏi với mức tăng như vậy thì sau 5 năm, 10 năm số dân của tỉnh đó là bao nhiêu?

Cho hình vuông C₁ có cạnh bằng 4. Người ta chia các cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông lại làm tiếp tục như trên để được hình vuông C₂. Từ hình vuông C₂ lại tiếp như trên để được hình vuông C₃. Tiếp tục quá trình như trên, ta nhận được dãy các hình vuông \(C_1, C_2, ...,C_n.\) Gọi  an là độ dài cạnh của hình vuông C_n. Chứng minh dãy số (a_n) là một cấp số nhân. 

Cho dãy số (u_n) với u_n = (−3)²ⁿ⁻¹

a) Chứng minh dãy số (u_n) là cấp số nhân. Nêu nhận xét về tính tăng, giảm của dãy số;

b) Lập công thức truy hồi của dãy số;

c) Hỏi số -19683 là số hạng thứ mấy của dãy số ?

Cấp số nhân (u_n) có \(\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} + {u_5} = 51\\
{u_2} + {u_6} = 102
\end{array} \right.\)

a) Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân :

b) Hỏi tổng của bao nhiêu số hạng đầu tiên sẽ bằng 3069?

c) Số 12288 là số hạng thứ mấy ?

Tìm số các số hạng của cấp số nhân (u_n) biết:

a) \(q = 2,{u_n} = 96,{S_n} = 189\) ;

b) \({u_1} = 2,{u_n} = \frac{1}{8},{S_n} = \frac{{31}}{8}\).

Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân (u_n) biết

a) \(\left\{ \begin{array}{l}
{u_5} - {u_1} = 15\\
{u_4} - {u_2} = 6
\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}
{u_2} - {u_4} + {u_5} = 10\\
{u_3} - {u_5} + {u_6} = 20
\end{array} \right.\)

Bốn số lập thành một cấp số cộng. Lần lượt trừ mỗi số ấy cho 2, 6, 7, 2 ta nhận được một cấp số nhân. Tìm các số đó.

Viết bốn số xen giữa các số 5 và 160 để được một cấp số nhân.

Cho dãy số (u_n): \(\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = 0\\
{u_{n + 1}} = \frac{{2{u_n} + 3}}{{{u_n} + 4}},\,\,n \ge 1
\end{array} \right.\)

a) Lập dãy số (x_n) với \({x_n} = \frac{{{u_n} - 1}}{{{u_n} + 3}}\). Chứng minh dãy số (xn) là cấp số nhân.

b) Tìm công thức tính x_n, u_n theo n.

Hãy chọn dãy số là cấp số nhân trong các dãy số (u_n) sau:

A. \({u_n} = \frac{{{2^n} - 1}}{{{2^n} + 1}}\)

B. \({u_n} = 3n\)

C. \({u_n} = \frac{{{{\left( { - 3} \right)}^n}}}{3}\)

D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = 1}\\
{{u_{n + 1}} = \sqrt {u_n^2 + 1} ,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} n \ge 1}
\end{array}} \right.\)

Tổng S_n = 1 + 2 + 2² + ... + 2ⁿ bằng :

A. \(2^{n-1}-1\)

B. \(2^{n+1}-1\)

C. \(2^n-1\)

D. \(\frac{{\left( {1 + {2^n}} \right)n}}{2}\)

Cho cấp số nhân x, -3, y, -27. Khi đó:

A. x = -9; y = 81            B. x = 1; y = 9

C. x = 1; y = -9            D. x = 9; y = -15

Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số nhân ? Hãy xác định công bội của cấp số nhân đó.

a. Dãy số 1, −2, 4, −8, 16, −32, 64

b. Dãy số (u_n) với u_n = n.6ⁿ⁺¹

c. Dãy số (v_n) với v_n = (−1)ⁿ.3²ⁿ

d. Dãy số (x_n) với x_n = (−4)²ⁿ⁺¹.

Trong mỗi câu sau, hãy đánh dấu “x” vào phần kết luận mà em cho là đúng :

a. Mỗi cấp số nhân có số hạng đầu dương và công bội 0

 Tăng

 Giảm

 Không tăng cũng không giảm

b. Mỗi cấp số nhân có số hạng đầu dương và công bội q>1q>1 là một dãy số

 Tăng

 Giảm

 Không tăng cũng không giảm

Cho cấp số nhân (u_n) có công bội q < 0. Biết u₂ = 4 và u₄ = 9, hãy tìm u₁.

Một cấp số nhân có năm số hạng mà hai số hạng đầu tiên là những số dương, tích của số hạng đầu và số hạng thứ ba bằng 1, tích của số hạng thứ ba và số hạng cuối bằng \(\frac{1}{{16}}\). Hãy tìm cấp số nhân đó.

Cho cấp số nhân (u_n) với công bội q ≠ 0 và u₁ ≠ 0. Cho các số nguyên dương m và k, với m ≥ k. Chứng minh rằng u_m = u_k.q^m−k

Áp dụng: 

a. Tìm công bội q của cấp số nhân (u_n) có u₄ = 2 và u₇ = − 686.

b. Hỏi có tồn tại hay không một cấp số nhân (u_n) mà u₂ = 5 và u₂₂ = −2000 ?

Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân (u_n) , biết rằng u₃ = −5 và u₆ = 135.

Chu kì bán rã của nguyên tố phóng xạ poloni 210 là 138 ngày (nghĩa là sau 138 ngày khối lượng của nguyên tố chỉ còn một nửa). Tính (chính xác đến hàng phần trăm) khối lượng còn lại của 20 gam poloni 210 sau 7314 ngày (khoảng 20 năm).

Tính các tổng sau :

a. Tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân, biết rằng số hạng đầu bằng 18, số hạng thứ hai bằng 54 và số hạng cuối bằng 39 366;

b. Tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân, biết rằng số hạng đầu bằng 12561256 , số hạng thứ hai bằng −1512−1512 và số hạng cuối bằng  1104857611048576

Bốn góc lượng giác có số đo dương lâp thành một cấp số nhân có tổng là 360⁰. Hãy tìm bốn góc đó, biết rằng số đo của góc lớn nhất gấp 8 lần số đo của góc nhỏ nhất.

Hãy chọn những khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây:

a. Nếu các số thực a, b, c mà abc ≠ 0, theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng với công sai khác 0 thì các số \(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}\) theo thứ tự đó cũng lập thành một cấp số cộng.

b. Nếu các số thực a, b, c mà abc ≠ 0, theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân thì các số \(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}\) theo thứ tự đó cũng lập thành một cấp số nhân.

c. \(1 + \pi  + {\pi ^2} + ... + {\pi ^{100}} = \frac{{{\pi ^{100}} - 1}}{{\pi  - 1}}\)

Các số x+6y, 5x+2y, 8x+y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng; đồng thời các số x–1, y+2, x–3y theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm x và y.

Cho cấp số cộng (u_n) với công sai khác 0. Biết rằng các số u₁u₂, u₂u₃ và u₃u₁ theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân với công bội q ≠ 0. Hãy tìm q.

Số hạng thứ hai, số hạng đầu và số hạng thứ ba của một cấp số cộng với công sai khác 0 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm công bội của cấp số nhân đó.

Hãy tìm ba số hạng đầu tiên của một cấp số nhân, biết rằng tổng của chúng bằng \(\frac{{148}}{9}\) và đồng thời các số hạng đó tương ứng là số hạng đầu, số hạng thứ tư và số hạng thứ tám của một cấp số cộng.

Cho dãy số (u_n) xác định bởi

u₁ = 1 và un + 1 = 5u_n + 8 với mọi n ≥ 1.

a. Chứng minh rằng dãy số (v_n), với v_n = u_n + 2, là một cấp số nhân. Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân đó.

b. Dựa vào kết quả phần a, hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số (u_n).