Bài tập 37 trang 68 SGK Hình học 11 NC

Chứng minh (BDA’) // (B’D’C)

Ta có tứ giác BB’D’D và A’B’CD là các hình bình hành nên : BD // B’D’ và DA’ // B’C

⇒ 2 mặt phẳng (BDA’) và (B’D’C) có các cặp đường thẳng cắt nhau và song song nhau từng đôi một nên chúng song song.

Vậy (BDA’) // (B’D’C).

b) Chứng minh G₁, G₂ ∈ AC’

Gọi O, O’ lần lượt là tâm của hình bình hành ABCD và A’B’C’D’.

Trong mặt phẳng (AA’C’C) gọi G₁, G₂ lần lượt là giao điểm của AC’ với A’O và O’C. Ta chứng minh G₁, G₂ lần lượt là trong tâm của ∆A’BD và ∆CB’D’.

Thật vậy, ta có ∆G₁OA đồng dạng ∆G₁A’C’ (vì AC // A’C’)

\(\begin{array}{l}
 \Rightarrow \frac{{{G_1}O}}{{{G_1}A\prime }} = \frac{{OA}}{{A\prime C\prime }} = \frac{1}{2}\\
 \Rightarrow \frac{{A\prime {G_1}}}{{A\prime O}} = \frac{2}{3}
\end{array}\)

⇒ G₁ là trọng tâm tam giác A'BD

Tương tự, G₂ là trọng tâm ∆CB’D’. Vậy AC’ đi qua G₁, G₂.

c) Chứng minh AG₁ = G₁G₂ = G₂C’

Theo câu trên , ta có: 

\(\frac{{A{G_1}}}{{{G_1}C\prime }} = \frac{{AO}}{{A\prime C\prime }} = \frac{1}{2}\)

(vì \(\Delta {G_2}C'O'\~\Delta {G_2}AC\))

\( \Rightarrow C'{G_2} = \frac{1}{3}AC'\)

Từ (1) và (2) suy ra: AG₁ = G₁G₂ = G₂C’.

d)

Gọi M, N, P, Q, S, R lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD, DD’, C’D’, C’B’, B’B.

Ta có: 

\(\left\{ \begin{array}{l}
MN//BD\\
SP//BD
\end{array} \right. \Rightarrow MN//SP\)

Gọi (α) = (MN, SP)

Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}
PQ//DC\prime \\
MS//AB\prime 
\end{array} \right. \Rightarrow PQ//MS\)

( vì DC’ // AB’)

⇒ PQ ⊂ (α) do đó Q ∈ (α).

Tương tự: QR // MN ⇒ QR ⊂ (α) do đó R ∈ (α).

Vậy M, N, P, Q, R, S ∈ (α).

Mặt khác vì \(\left\{ \begin{array}{l}
MS//AB\prime \\
NP//AD\prime 
\end{array} \right.\) nên (MNPQRS) // (AB’D').

-- Mod Toán 11 HỌC247