Giải bài tập Toán 10 Cánh Diều Bài 6: Ba đường conic

Đóng hai chiếc đinh cố định tại hai điểm \({F_1};{F_2}\) trên mặt một bảng gỗ. Lấy một vòng dây kín không đàn hồi có độ dài lớn hơn \(2{F_1}{F_2}\). Quàng vòng dây đó qua hai chiếc định và kéo căng tại vị trí của đầu bút chì (Hình 51). Di chuyển đầu bút chì sao cho dây luôn căng, đầu bút chì vạch nên một đường mà ta gọi là đường elip. Gọi vị trí của đầu bút chì là điểm M. Khi M thay đổi, có nhận xét gì về tổng độ dài\(M{F_1} + M{F_2}\) ?

Trong mặt phẳng, xét đường elip (E) là tập hợp các điểm M sao cho \(M{F_1} + M{F_2} = 2a\), ở đó \({F_1}{F_2} = {\rm{ }}2c\) (với a>c>0). Ta chọn hệ trục toạ độ Oxy có gốc là trung điểm của \({F_1}{F_2}\), trục Oy là đường trung trực của \({F_1}{F_2}\), và \({F_2}\) nằm trên tia Ox (Hình 52). Khi đó, \({F_1}\left( { - c;0} \right)\) và \({F_2}\left( {c;0} \right)\) là hai tiêu điểm của elip (E). Chứng minh rằng:

a) \({A_1}\left( { - a;0} \right)\) và \({A_2}\left( {a{\rm{ }};{\rm{ }}0} \right)\) đều là giao điểm của elip (E) với trục Ox,

b) \({B_1}\left( {0; - {\rm{ }}b} \right)\) và\({B_2}\left( {0;{\rm{ }}b} \right)\) , ở đó\(b = \sqrt {{a^2} - {c^2}} \), đều là giao điểm của elip (E) với trục Oy.

Lập phương trình chính tắc của elip (E) đi qua hai điểm M(0 ; 3) và \(N\left( {3; - \frac{{12}}{5}} \right)\) 

Đóng hai chiếc đinh cố định tại hai điểm \({F_1},{F_2}\) trên mặt một bảng gỗ. Lấy một thước thẳng có mép AB và một sợi dây không đàn hồi có chiều dài \(l\)  thoả mãn\(AB--{F_1}{F_2}{\rm{ }} < l < AB\) . Đính một đầu dây vào điểm A và đầu dây kia vào \({F_2}\). Đặt thước sao cho điểm B trùng với \({F_1}\), và lấy đầu bút chì (kí hiệu là M) tì sát sợi dây vào thước thẳng sao cho sợi dây luôn bị căng. Sợi dây khi đó là đường gấp khúc\(AM{F_2}\) , Cho thước quay quanh điểm B (trùng \({F_1}\)), tức là điểm A chuyển động trên đường tròn tâm B có bán kính bằng độ dài đoạn thẳng AB, mép thước luôn áp sát mặt gỗ (Hình 53). Khi đó, đầu bút chì M sẽ vạch nên một đường mà ta gọi là đường hypebol. Khi M thay đổi, có nhận xét gì về hiệu\(M{F_1} - M{F_2}\) ?

Để lập phương trình của đường hypebol trong mặt phẳng, trước tiên ta sẽ chọn hệ trục toạ độ Oxy thuận tiện nhất. Tương tự elip, ta chọn trục Ox là đường thẳng \({F_1}{F_2}\), trục Oy là đường trung trực của đoạn thẳng \({F_1}{F_2} = {\rm{ }}2c{\rm{ }}\left( {c{\rm{ }} > {\rm{ }}0} \right),\)gốc toạ độ O là trung điểm của đoạn thẳng \({F_1}{F_2}\) (Hình 54).

a) Tìm toạ độ của hai tiêu điểm \({F_1},{F_2}\).

b) Nếu dự đoán thích hợp cho “?” trong bảng sau:

Viết phương trình hypebol sau đây dưới dạng chính tắc: \(4{x^2}-9{y^2} = {\rm{ }}1.\)

Lấy đường thẳng \(\Delta \)và một điểm F không thuộc \(\Delta \). Lấy một ê ke ABC (vuông ở A) và một đoạn dây không đàn hồi, có độ dài bằng AB. Đính một đầu dây vào điểm F, đầu kia vào đỉnh B của ê ke. Đặt ê ke sao cho cạnh AC nằm trên \(\Delta \), lấy đầu bút chì (kí hiệu là điểm M) ép sát sợi dây vào cạnh AB và giữ căng sợi dây. Lúc này, sợi dây chính là đường gấp khúc BMF. Cho cạnh AC của ê ke trượt trên \(\Delta \) (Hình 55). Khi đó, đầu bút chì M sẽ vạch nên một đường mà ta gọi là đường parabol. Khi M thay đổi, có nhận xét gì về khoảng cách từ M đến F và khoảng cách từ M đến đường thẳng \(\Delta \)?

Viết phương trình các parabol sau đây dưới dạng chính tắc:

a) \(x = \frac{{{y^2}}}{4}\)

b) \(x-y^2=0\)

Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của elip?

\(a)\frac{{{x^2}}}{{64}} + \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1\)

b) \(\frac{{{x^2}}}{{64}} - \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1\)

c) \(\frac{{{x^2}}}{{64}} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\)

d) \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1\)

Cho elip \(\left( E \right)\) có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{49}} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\). Tìm tọa độ các giao điểm của \(\left( E \right)\) với trục Ox, Oy và tọa độ các tiêu điểm của \(\left( E \right)\).

Viết phương trình chính tắc của elip \(\left( E \right)\), biết tọa độ hai giao điểm của \(\left( E \right)\) với Ox và Oy lần lượt là \({A_1}\left( { - 5;0} \right)\) và \({B_2}\left( {0;\sqrt {10} } \right)\)

Ta biết rằng Mặt Trăng chuyển động quanh Trái Đất theo quỹ đạo là một elip mà Trái Đất là một tiêu điểm. Elip đó có \({A_1}{A_2}\) = 768 800 km và \({B_1}{B_2}{\rm{ }} = {\rm{ }}767{\rm{ }}619{\rm{ }}km\) (Nguồn: Ron Larson (2014), Precalculus Real Mathematics, Real People, Cengage) (Hình 62). Viết phương trình chính tắc của elip đó.

Những phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của hypebol ?

a) \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\) b) \(\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\) c) \(\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1\) d) \(\frac{{{x^2}}}{{64}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\)

Tìm tọa độ các tiêu điểm của đường hypebol trong mỗi trường hợp sau:

a) \(\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\)

b) \(\frac{{{x^2}}}{{36}} - \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\)

Viết phương trình chính tắc của hypebol \(\left( H \right)\), biết \(N\left( {\sqrt {10} ;2} \right)\) nằm trên \(\left( H \right)\) và hoành độ một giao điểm của \(\left( H \right)\) với trục Ox bằng 3.

Những phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của parabol?

a) \({y^2} =  - 2x\)

b) \({y^2} = 2x\)

c) \({x^2} =  - 2y\)

d) \({y^2} = \sqrt 5 x\)

Tìm tọa độ tiêu điểm và viết phương trình đường chuẩn của đường parabol trong mỗi trường hợp sau:

a) \({y^2} = \frac{{5x}}{2}\)

b) \({y^2} = 2\sqrt 2 x\)

Viết phương trình chính tắc của đường parabol, biết tiêu điểm \(F\left( {6;0} \right)\)

Một chiếc đèn có mặt cắt ngang là hình parabol (Hình 63). Hình parabol có chiều rộng giữa hai mép vành là AB = 40 cm và chiều sâu h = 30 cm (h bằng khoảng cách  từ O đến AB). Bóng đèn nằm ở tiêu điểm S. Viết phương trình chính tắc của parabol đó.

Elip trong hệ trục tọa độ Oxy nào dưới đây có phương trình chính tắc dạng: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) (a > b > 0)?

Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của elip? 

A. \(\frac{{{x^2}}}{{{3^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{3^2}}} = 1\)                   

B. \(\frac{{{x^2}}}{{{3^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{3^2}}} = 1\)                       

C. \(\frac{{{x^2}}}{6} + {y^2} = 1\)            

D. \(\frac{{{x^2}}}{{{2^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{3^2}}} = 1\)

Hypebol trong hệ trục tọa độ Oxy nào dưới đây có phương trình chính tắc dạng: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) (a > 0, b > 0)?

Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của hypebol?

A. \({x^2} + \frac{{{y^2}}}{{{3^2}}} = 1\)              

B. \(\frac{{{x^2}}}{{16}} - {y^2} =  - 1\)          

C. \(\frac{{{x^2}}}{{25}} - \frac{{{y^2}}}{9} =  - 1\)  

D. \({x^2} - \frac{{{y^2}}}{2} = 1\)

Parabol trong hệ trục tọa độ Oxy nào dưới đây có phương trình chính tắc dạng: \({y^2} = 2px\) (p > 0)?

Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của hypebol?

A. \({y^2} =  - 0,3x\)             

B. \({x^2} = 0,3y\)                 

C. \({y^2} = 0,3x\)                      

D. \({x^2} =  - 0,3y\)

Lập phương trình chính tắc của elip (E) biết (E) đi qua hai điểm:

\(P\left( {2;\frac{{3\sqrt 3 }}{2}} \right)\) và \(Q\left( {2\sqrt 2 ;\frac{{3\sqrt 2 }}{2}} \right)\)

Cho elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\). Tìm điểm P thuộc (E) thoả mãn OP = 2,5.

Lập phương trình chính tắc của hypebol (H), biết (H) đi qua hai điểm M(-1 ; 0) và \(N(2;2\sqrt 3 )\)

Cho hypebol (H) có phương trình chính tắc: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) với a > 0, b > 0 và  đường thẳng y = n cắt (H) tại hai điểm P, Q phân biệt. Chứng minh hai điểm P và Q đối xứng nhau qua trục Oy.

Viết phương trình chính tắc của parabol (P), biết:

a) Phương trình đường chuẩn của (P) là \(x + \frac{1}{8} = 0\)

b) (P) đi qua điểm M(1 ; -8)

Cho parabol (P) có phương trình chính tắc: y² = 2px (p > 0) và đường thẳng x = m (m > 0) cắt (P) tại hai điểm I, K phân biệt. Chứng minh hai điểm I và K đối xứng nhau qua trục Ox.