ON
YOMEDIA
VIDEO

Chứng minh a^3+b^3 > = ab(a+b)

a)a3+b3≥ ab(a+b)(a,b>0)

b)a4+b4≥ a3b+ab3

c)(1+a)(1+b) ≥ (1+\(\sqrt{ab}\))2

d)\(\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\) ≥ ab +bc+ac(a,b>0)

Theo dõi Vi phạm
YOMEDIA

Trả lời (1)

 
 
 
  • a)

    \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\forall a,b>0\)

    \(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\ge ab\left(a+b\right)\)

    \(\Rightarrow a^2-ab+b^2\ge ab\)

    \(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)

    \(\Rightarrowđpcm\)

    b)

    \(a^4+b^4\ge a^3b+ab^3\)

    \(\Leftrightarrow a^4-ab^3+b^4-a^3b\ge0\)

    \(\Leftrightarrow a\left(a^3-b^3\right)-b\left(a^3-b^3\right)\ge0\)

    \(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)

    \(\Rightarrowđpcm\)

    c)

    \(\left(a+1\right)\left(b+1\right)\ge\left(\sqrt{ab}+1\right)^2\)

    \(\Leftrightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)-\left(\sqrt{ab}+1\right)^2\ge0\)

    \(\Leftrightarrow1+b+a+ab-ab-2\sqrt{ab}-1\ge0\)

    \(\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b\ge0\)

    \(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)

    Dấu bằng xảy ra khi \(a=b\)

    d)

    \(\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge ab+bc+ac\)

    Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta được

    \(\dfrac{a^3}{b}+ab\ge2\sqrt{\dfrac{a^3}{b}.ab}\)

    \(\Leftrightarrow\dfrac{a^3}{b}+ab\ge2a^2\)

    Tương tự ta được

    \(\dfrac{b^3}{c}+bc\ge2b^2,\dfrac{c^3}{a}+ac\ge2c^2\)

    \(\Rightarrow\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}+ab+bc+ac\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

    \(\Leftrightarrow\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(ab+bc+ac\right)\)

    Mặt khác ta có:\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\) (hệ quả bất đẳng thức AM-GM)

    \(\Rightarrow\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge ab+bc+ac\left(đpcm\right)\)

    Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z;x,y,z>0\)

      bởi Dương Bùi 26/12/2018
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
YOMEDIA

Video HD đặt và trả lời câu hỏi - Tích lũy điểm thưởng

Các câu hỏi có liên quan

 

YOMEDIA
1=>1