YOMEDIA
NONE

Cho các số thực không âm sau \(a,\,\,b,\,\,c\) thỏa mãn \(a + b + c = 1\). Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P = \frac{{ab + bc + ca - abc}}{{a + 2b + c}}\)

Cho các số thực không âm sau  \(a,\,\,b,\,\,c\) thỏa mãn \(a + b + c = 1\). Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  \(P = \frac{{ab + bc + ca - abc}}{{a + 2b + c}}\)

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Lê Nhật Minh

    *) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

     \(P = \frac{{ab + bc + ca - abc}}{{a + 2b + c}}\).

    \(P = \frac{{ab + bc + ca - abc}}{{a + 2b + c}}\)\( = \frac{{\left( {a + c} \right)b + ac\left( {1 - b} \right)}}{{a + b + c + b}}\)

    \( = \frac{{\left( {a + c} \right)b + ac\left( {a + c} \right)}}{{\left( {a + b + c} \right) + b}}\)\( = \frac{{\left( {a + c} \right)\left( {b + ac} \right)}}{{1 + b}} \ge 0\)

    \( \Rightarrow P \ge 0\) với mọi số thực không âm \(a,\,\,b,\,\,c\).

    Chọn \(a = b = 0,\,\,c = 1\).

    Suy ra, \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(0\) khi \(\left\{ \begin{array}{l}a = b = 0\\c = 1\end{array} \right.\).

     

    *) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

    \(P = \frac{{ab + bc + ca - abc}}{{a + 2b + c}}\).

    Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số không âm \(a\) và \(c\) ta được:

    \(a + c \ge 2ac\)\( \Leftrightarrow ac \le \frac{{a + c}}{2}\)

    Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(a = c\).

    Ta có:

    \(P = \frac{{ab + bc + ca - abc}}{{a + 2b + c}}\)\( = \frac{{\left( {a + c} \right)b + ac\left( {1 - b} \right)}}{{a + b + c + b}}\)

    \( = \frac{{\left( {1 - b} \right)b + ac\left( {1 - b} \right)}}{{1 + b}}\)\( = \frac{{\left( {1 - b} \right)\left( {b + ac} \right)}}{{1 + b}}\),

    \( \Rightarrow P = \frac{{\left( {1 - b} \right)\left( {b + ac} \right)}}{{1 + b}}\)\( \le \frac{{\left( {1 - b} \right)\left( {b + {{\left( {\frac{{a + c}}{2}} \right)}^2}} \right)}}{{1 + b}}\)

    \( = \frac{{\left( {1 - b} \right)\left( {b + \frac{{{{\left( {1 - b} \right)}^2}}}{4}} \right)}}{{1 + b}}\)\( = \frac{{\left( {1 - b} \right){{\left( {1 + b} \right)}^2}}}{{4\left( {1 + b} \right)}}\)

    \( = \frac{{1 - {b^2}}}{4} \le \frac{1}{4}\).

    Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi

     \(\left\{ \begin{array}{l}b = 0\\a = c\\a + c = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 0\\a = c = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)

    Vậy \(P\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(\frac{1}{4}\) khi \(\left\{ \begin{array}{l}b = 0\\a = c = \frac{1}{2}\end{array} \right.\).

      bởi Lê Nhật Minh 15/07/2021
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 8

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF