YOMEDIA
NONE

Tìm các cặp số tự nhiên n, k để n^4+4^2k+1 là số nguyên tố

Tìm tất cả các cặp số tự nhiên n và k để \(\left(n^4+4^{2k+1}\right)\) là số nguyên tố.

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • Đức Thuận

    Lời giải:

    Ta có:

    \(n^4+4^{2k+1}=(n^2)^2+(2^{2k+1})^2=(n^2+2^{2k+1})^2-2.n^2.2^{2k+1}\)

    \(=(n^2+2^{2k+1})^2-(2^{k+1}n)^2\)

    \(=(n^2+2^{2k+1}-2^{k+1}n)(n^2+2^{2k+1}+2^{k+1}n)\)

    Để số trên là số nguyên tố thì điều kiện đầu tiên là một trong hai thừa số \(n^2+2^{2k+1}-2^{k+1}n; n^2+2^{2k+1}+2^{k+1}n\) phải bằng 1

    Vì \(n^2+2^{2k+1}-2^{k+1}n< n^2+2^{2k+1}+2^{k+1}n\) nên :

    \(n^2+2^{2k+1}-2^{k+1}n=1\)

    Đặt \(2^{k+1}=t(t>0)\). PT trở thành:

    \(n^2+\frac{t^2}{2}-tn=1\)

    \(\Leftrightarrow 2n^2+t^2-2tn=2\)

    \(\Leftrightarrow (t-n)^2+(n^2-2)=0\)

    Nếu \(n\geq 2\Rightarrow n^2-2>0; (t-n)^2\geq 0\)

    \(\Rightarrow (t-n)^2+(n^2-2)>0\) (vô lý)

    Do đó \(n<2\). Vì \(n\in\mathbb{N}\Rightarrow n\in\left\{0;1\right\}\)

    +) \(n=0\Rightarrow t^2-2=0\Rightarrow t\not\in\mathbb{N}\) (vô lý)

    +) \(n=1\Rightarrow (t-1)^2=1\Rightarrow t-1=\pm 1\Leftrightarrow t=0;2\)

    Thấy \(t>0\Rightarrow t=2\Leftrightarrow 2^{k+1}=2\Leftrightarrow k+1=1\Leftrightarrow k=0\)

    Vậy \((n,k)=(1,0)\)

      bởi Đức Thuận 10/10/2018
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 6

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON