YOMEDIA
NONE

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau đay là \(f\left( x \right) = x + {\cos ^2}x\) trên đoạn \(\left[ {0;\dfrac{\pi }{4}} \right]\).

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau đay là \(f\left( x \right) = x + {\cos ^2}x\) trên đoạn \(\left[ {0;\dfrac{\pi }{4}} \right]\).

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • Lê Tường Vy

    Giả sử \({x_1},\,\,{x_2} \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{4}} \right];\,\,{x_1} < {x_2}\).

    Xét

    \(\begin{array}{l}f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right) = \left( {{x_2} - {x_1}} \right) + {\cos ^2}\left( {{x_2}} \right) - {\cos ^2}\left( {{x_1}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {{x_2} - {x_1}} \right) + \left( {\cos {x_2} + \cos {x_1}} \right)\left( {\cos {x_2} - \cos {x_1}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {{x_2} - {x_1}} \right) - 4\cos \dfrac{{{x_2} + {x_1}}}{2}\cos \dfrac{{{x_2} - {x_1}}}{2}.sin\dfrac{{{x_2} + {x_1}}}{2}.\sin \dfrac{{{x_2} - {x_1}}}{2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {{x_2} - {x_1}} \right) - \left( {2sin\dfrac{{{x_2} + {x_1}}}{2}\cos \dfrac{{{x_2} + {x_1}}}{2}} \right)\left( {2\sin \dfrac{{{x_2} - {x_1}}}{2}\cos \dfrac{{{x_2} - {x_1}}}{2}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {{x_2} - {x_1}} \right) - \sin \left( {{x_2} + {x_1}} \right)\sin \left( {{x_2} - {x_1}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \ge \left( {{x_2} - {x_1}} \right) - \sin \left( {{x_2} - {x_1}} \right)\end{array}\)

    Vì \(0 < {x_2} - {x_1} \le \dfrac{\pi }{4} \Rightarrow x > \sin x\), do đó \(\left( {{x_2} - {x_1}} \right) - \sin \left( {{x_2} - {x_1}} \right) > 0\,\,\forall x \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{4}} \right]\).

    Suy ra hàm số \(f\left( x \right) = x + {\cos ^2}x\) đồng biến trên đoạn \(\left[ {0;\dfrac{\pi }{4}} \right]\).

    \( \Rightarrow f\left( 0 \right) = 1 \le f\left( x \right) \le f\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{1}{2}\,\,\forall x \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{4}} \right]\).

    Vậy GTLN của hàm số bằng \(\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{1}{2}\), đạt được tại \(x = \dfrac{\pi }{4}\) và GTNN của hàm số bằng 1, đạt được tại \(x = 0\).

      bởi Lê Tường Vy 17/07/2021
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 11

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON