Gọi (C ) là đồ thị hàm số \(y = {{{x^2} + 3x + 2} \over {x - 1}}\) Tìm tọa độ các điểm trên (C) mà tiếp tuyến tại đó với (C) vuông góc với đường thẳng có phương trình \(y = x + 4\).

Vì  tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng  

nên phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k=-1

Ta có \(y = \dfrac{{{x^2} + 3x + 2}}{{x - 1}}\,\,\,\,suy\,\,ra\,\,\,y' = \dfrac{{{x^2} - 2x - 5}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)

Khi đó y’ = k = -1 hay

  \(\begin{array}{l}\dfrac{{{x^2} + 3x + 2}}{{x - 1}} =  - 1 \\\Rightarrow {x^2} - 2x - 5 =  - {\left( {x - 1} \right)^2}\\ \Rightarrow 2{x^2} - 4x - 4 = 0\end{array}\)

hoặc \(x = 1 - \sqrt 3 \)

Với \(x = 1 + \sqrt 3 \) thì \(y = \dfrac{{{x^2} + 3x + 2}}{{x - 1}} = \dfrac{{{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)}^2} + 3\left( {1 + \sqrt 3 } \right) + 2}}{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right) - 1}} = 5 + 3\sqrt 3 \)

Với \(x = 1 - \sqrt 3 \) thì \(y = \dfrac{{{x^2} + 3x + 2}}{{x - 1}} = \dfrac{{{{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}^2} + 3\left( {1 - \sqrt 3 } \right) + 2}}{{\left( {1 - \sqrt 3 } \right) - 1}} = 5 - 3\sqrt 3 \)

Vậy giao điểm của (C) và đường thẳng  tại điểm

\(\left( {1 + \sqrt 3 ;5 + 3\sqrt 3 } \right)\)và \(\left( {1 - \sqrt 3 ;5 - 3\sqrt 3 } \right)\)

Đáp án A