Chứng minh AC vuông góc SK và CK vuông góc SD biết S.ABCD có đáy hình vuông

Lời giải:

a)

\(\triangle SAB\) đều \(\rightarrow \) trung tuyến $SH$ đồng thời là đường cao $SH$

\(\Rightarrow SH\perp AB\)

Mà theo gt thì \(SH\perp BC\Rightarrow SH\perp \text{mp}(AB,BC)\Leftrightarrow SH\perp (ABCD)\)

b)

\(\left\{\begin{matrix} H-\text{trung điểm AB}\\ K-\text{ trung điểm AD}\end{matrix}\right.\Rightarrow HK\) là đường trung bình của tg $ABD$

\(\Rightarrow HK\parallel BD\)

$ABCD$ là hình vuông nên \(AC\perp BD\)

Từ đây suy ra \(HK\perp AC(1)\)

\(SH\perp (ABCD); AC\subset (ABCD)\Rightarrow SH\perp AC(2)\)

Từ \((1); (2)\Rightarrow AC\perp (SHK)\Rightarrow AC\perp SK\) (đpcm)

-----------------------------------

Gọi \(I\equiv CK\cap DH\)

Ta có \(\triangle CDK=\triangle DAH\Rightarrow \widehat{DCK}=\widehat{ADH}\)

\(\widehat{ADH}+\widehat{HDC}=90^0\Rightarrow \widehat{DCK}+\widehat{HDC}=90^0\)

\(\Rightarrow \widehat{DIC}=90^0\Rightarrow CK\perp DH(3)\)

Lại có \(SH\perp (ABCD); CK\subset (ABCD)\Rightarrow SH\perp CK(4)\)

Từ \((3); (4)\Rightarrow CK\perp (SHD)\Rightarrow CK\perp SD\)

Ta có đpcm.