Biết tiếp tuyến (d) của đồ thị hàm số (C): \(y = {x^3} - 2x + 2\) vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ nhất. Phương trình (d) là:

Đường phân giác của góc phần tư thứ nhất có phương trình y = x

Do tiếp tuyến của đồ thị hàm số vuông góc với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất nên hệ số góc của tiếp tuyến là k = -1

Ta có \(\begin{array}{l}y' = {\left( {{x^3} - 2x + 2} \right)^\prime } = 3{x^2} - 2\\y' =  - 1 \Leftrightarrow 3{x^2} - 2 =  - 1 \Leftrightarrow 3{x^2} = 1 \Leftrightarrow {x^2} = \dfrac{1}{3} \Leftrightarrow x =  \pm \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\end{array}\)

Với \(x = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow y = {\left( {\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)^3} - 2\left( {\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) + 2 = \dfrac{1}{{3\sqrt 3 }} - \dfrac{2}{{\sqrt 3 }} + 2\)

Phương trình tiếp tuyến tương ứng là: \(y =  - \left( {x - \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) + \dfrac{1}{{3\sqrt 3 }} - \dfrac{2}{{\sqrt 3 }} + 2 =  - x + \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} + \dfrac{{18 - 5\sqrt 3 }}{9}\)

Với \(x =  - \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow y = {\left( { - \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)^3} - 2\left( { - \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) + 2 =  - \dfrac{1}{{3\sqrt 3 }} + \dfrac{2}{{\sqrt 3 }} + 2\)

Phương trình tiếp tuyến tương ứng là: \(y =  - \left( {x + \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) - \dfrac{1}{{3\sqrt 3 }} + \dfrac{2}{{\sqrt 3 }} + 2 =  - x - \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} + \dfrac{{18 + 5\sqrt 3 }}{9}\)

Đáp án C