Tính diện tích hình thang ABCD vuông tại A và B có AB=BC=2a

Sử dụng định lí Pithagoras cho tam giác HBC ta được: \(HC = \sqrt 5 a\)

Gọi E là hình chiếu của C lên HD theo đề bài ta được \(CE = \frac{{\sqrt {10} a}}{2}\)

Sử dụng định lí Pithagoras cho tam giác HEC ta được:\(HE = \frac{{\sqrt {10} a}}{2}\) 

⇒HEC là tam giác vuông cân.

Gọi F là hình chiếu của C lên AD dễ thấy ABCF là hình vuông. 

HEBC là một tứ giác nội tiếp (tổng 2 góc đối là 180⁰) ⇒\(\widehat {EHC} = \widehat {EBC} = {45^0}\) (cùng chắn cung EC)

mà \(\widehat {FBC} = {45^0}\) và E nằm cùng phía với F nên B,E,F thẳng hàng.

Xét một tứ giác nội tiếp khác là EFDC ta có \(\widehat {CFE} = \widehat {E{\rm{D}}C} = {45^0}\) (cùng chắn cung EC) 

Xét tam giác CHD có \(\widehat {H{\rm{D}}C} = \widehat {DHC} = {45^0}\) ⇒ HDC vuông cân tại C ⇒HC=CD

Xét hai tam giác vuông HBC và DFC có: 

BC=CF

HC=CD

⇒\(\Delta HBC = \Delta DFC\) (cạnh huyền - cạnh góc vuông)⇒HB=FD=a

⇒AD=AF+FD=2a+a=3a

Diện tích hình thang ABCD là \({S_{ABC{\rm{D}}}} = \frac{{BC + A{\rm{D}}}}{2}AB = \frac{{2a + 3{\rm{a}}}}{2}2{\rm{a}} = 5{{\rm{a}}^2}\) (đơn vị diện tích)