Tìm tọa độ điểm I là giao điểm của BG và trục hoành biết A(-3;-5), B(1;1), C(-1;-5)

a) \(x_G=\dfrac{-3+1+\left(-1\right)}{3}=-1,\) \(y_G=\dfrac{-5+1+\left(-5\right)}{3}=-3\).
Vậy \(G\left(-1;-3\right)\).
Do điểm I thuộc trục hoành nên \(I\left(x,0\right)\).
Do điểm I thuộc đường thẳng BG nên \(\overrightarrow{BI}=k\overrightarrow{BG}\).
\(\overrightarrow{BI}\left(x-1;-1\right)\), \(\overrightarrow{BG}\left(-2;-4\right)\).
Suy ra \(\dfrac{x-1}{-2}=\dfrac{-1}{-4}\Leftrightarrow4\left(x-1\right)=-2\)\(\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\).
Vậy \(I\left(\dfrac{1}{2};0\right)\).
b) Ta tìm điểm I sao cho \(\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\).
Ta có: \(\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}=\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}\right)+2\left(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right)\)\(=2\overrightarrow{MQ}+4\overrightarrow{MN}\) (Q là trung điểm của AC và N là trung điểm của BC).
\(2\overrightarrow{MQ}+4\overrightarrow{MN}=2\left(\overrightarrow{MQ}+2\overrightarrow{MN}\right)=\overrightarrow{0}\)\(\Leftrightarrow\overrightarrow{MQ}+2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{0}\).

Vậy điểm M thuộc đoạn NQ sao cho MQ = 2MN.
Giả sử có điểm I sao cho \(\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC}=2\overrightarrow{CB}\) \(\Leftrightarrow4\overrightarrow{IM}=2\overrightarrow{CB}\)\(\Leftrightarrow\overrightarrow{IM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CB}\).

Vậy điểm I được xác định sao cho \(\overrightarrow{IM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CB}\).