Tìm tham số \(m\) sao cho phương trình sau có đúng \(2\) nghiệm : \(4{x^2} - 8x + 22 = 3m + 12\sqrt {2{x^2} - 4x + 6} \)

Đặt \(t = \sqrt {2{x^2} - 4x + 6}  \ge 0\) ta có:

\(2{x^2} - 4x + 6 = 2\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + 4\) \( = 2{\left( {x - 1} \right)^2} + 4 \ge 4\) \( \Rightarrow {t^2} \ge 4 \Rightarrow t \ge 2\)

Khi đó phương trình trở thành \(2{t^2} + 10 = 3m + 12t\) \( \Leftrightarrow 2{t^2} - 12t + 10 = 3m\,\left( 1 \right)\)

Ứng với mỗi một giá trị \(t > 2\) thì có hai giá trị của \(x\), do đó yêu cầu bài toán thỏa khi \(\left( 1 \right)\) có nghiệm duy nhất \(t > 2\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = 2{t^2} - 12t + 10\) với \(t \ge 2\).

Ta có: \( - \dfrac{b}{{2a}} =  - \dfrac{{ - 12}}{{2.2}} = 3\), \( - \dfrac{\Delta }{{4a}} =  - 8\).

Vì \(a = 2 > 0\) nên hàm số đồng biến trên \(\left( {3; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;3} \right)\).

BBT:

Đường thẳng \(y = 3m\) đi qua điểm \(\left( {0;3m} \right)\) và song song hoặc trùng với trục hoành tại điểm \(\left( {0;3m} \right)\).

Phương trình (1) có nghiệm duy nhất \(t > 2\) \( \Leftrightarrow \) đường thẳng \(y = 3m\) cắt đồ thị hàm số \(f\left( t \right)\) tại điểm duy nhất \(t > 2\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3m >  - 6\\3m =  - 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m >  - 2\\m =  - \dfrac{8}{3}\end{array} \right.\).

Vậy \(\left[ \begin{array}{l}m >  - 2\\m =  - \dfrac{8}{3}\end{array} \right.\).