Tìm GTNN của P=xy/z+yz/x+zx/y

bởi Yumie Chanh 10/02/2019

Cho x,y,z >0 & x^2+y^2+z^2=2019. Tìm GTNN của P=\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}

Câu trả lời (1)

  • Ta có: 

    \[\begin{array}{l}
    {P^2} = \frac{{{x^2}{y^2}}}{{{z^2}}} + \frac{{{y^2}{z^2}}}{{{x^2}}} + \frac{{{z^2}{x^2}}}{{{y^2}}} + 2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2}\\
    2{P^2} = 2\frac{{{x^2}{y^2}}}{{{z^2}}} + 2\frac{{{y^2}{z^2}}}{{{x^2}}} + 2\frac{{{z^2}{x^2}}}{{{y^2}}} + 4{x^2} + 4{y^2} + 4{z^2}
    \end{array}\]

    Theo bất đẳng thức Cosi ta có:

    \[\begin{array}{l}
    \frac{{{x^2}{y^2}}}{{{z^2}}} + \frac{{{y^2}{z^2}}}{{{x^2}}} \ge 2\sqrt {\frac{{{x^2}{y^2}}}{{{z^2}}}.\frac{{{y^2}{z^2}}}{{{x^2}}}}  = 2{y^2}\\
    \frac{{{y^2}{z^2}}}{{{x^2}}} + \frac{{{z^2}{x^2}}}{{{y^2}}} \ge 2\sqrt {\frac{{{y^2}{z^2}}}{{{x^2}}}.\frac{{{z^2}{x^2}}}{{{y^2}}}}  = 2{z^2}\\
    \frac{{{x^2}{y^2}}}{{{z^2}}} + \frac{{{z^2}{x^2}}}{{{y^2}}} \ge 2\sqrt {\frac{{{x^2}{y^2}}}{{{z^2}}}.\frac{{{z^2}{x^2}}}{{{y^2}}}}  = 2{x^2}
    \end{array}\]

    Do đó:

    \[\begin{array}{l}
     \Rightarrow 2{P^2} = 2\frac{{{x^2}{y^2}}}{{{z^2}}} + 2\frac{{{y^2}{z^2}}}{{{x^2}}} + 2\frac{{{z^2}{x^2}}}{{{y^2}}} + 4{x^2} + 4{y^2} + 4{z^2} \ge 2{y^2} + 2{z^2} + 2{x^2} + 4{x^2} + 4{y^2} + 4{z^2}\\
     \Leftrightarrow {P^2} \ge 3\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) = 3.2019 = 6057\\
     \Leftrightarrow P \ge \sqrt {6057} \left( {P > 0} \right) \Leftrightarrow {P_{\min }} = \sqrt {6057}  \Leftrightarrow x = y = z = \sqrt {\frac{{2019}}{3}} 
    \end{array}\]

    Vậy:

    \[{P_{\min }} = \sqrt {6057} \]

    bởi Ha Joon 10/02/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Mời gia nhập Biệt đội Ninja247

Gửi câu trả lời Hủy

Các câu hỏi có liên quan

Được đề xuất cho bạn