YOMEDIA
NONE

Tìm GTNN của P=a^3/b+b^3/c+c^3/a

Cho a, b, c > 0 và a + b + c + ab + bc + ca = 6

Tìm min của P = \(\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\)

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Phạm Nguyên Bảo Nhi

    Lời giải:

    Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

    \(P=\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ac}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab+bc+ac}\)

    Theo hệ quả của BĐT AM-GM ta luôn có: \(a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac\)

    \(\Rightarrow P\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab+bc+ac}\geq a^2+b^2+c^2\) (1)

    Sử dụng những bđt rất quen thuộc sau:

    \((a+b+c)^2\leq 3(a^2+b^2+c^2)\Rightarrow a+b+c\leq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}\)

    \(ab+bc+ac\leq a^2+b^2+c^2\)

    Cộng vào suy ra \(6\leq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}+a^2+b^2+c^2\)

    Đặt \(\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}=t\Rightarrow a^2+b^2+c^2=\frac{t^2}{3}\)

    Ta có \(6\leq t+\frac{t^2}{3}\Leftrightarrow t^2+3t-18\geq 0\)

    \(\Leftrightarrow (t+6)(t-3)\geq 0\)

    Vì \(t>0\Rightarrow t+6>0\Rightarrow t-3\geq 0\Rightarrow t\geq 3\)

    \(\Rightarrow a^2+b^2+c^2=\frac{t^2}{3}\geq 3(2)\)

    Từ \((1),(2)\Rightarrow P\geq 3\Leftrightarrow P_{\min}=3\)

    Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)

      bởi Phạm Nguyên Bảo Nhi 22/10/2018
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 10

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF