Tìm các giác trị tham số \(m\) sao cho bất phương trình sau có nghiệm đúng với mọi \(x \in \left[ {1;9} \right]\): \({x^2} - 10x + 7\) \( + 2\sqrt { - {x^2} + 10x - 9} + m > 0\)

\({x^2} - 10x + 7\) \( + 2\sqrt { - {x^2} + 10x - 9}  + m > 0\)  

Điều kiện: \( - 1 \le x \le 9\)

\({x^2} - 10x + 7\)\( + 2\sqrt { - {x^2} + 10x - 9}  + m > 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 10x + 9\)\( + 2\sqrt { - {x^2} + 10x - 9}  - 2 + m > 0\)

\( \Leftrightarrow  - \left( {{x^2} + 10x - 9} \right)\)\( + 2\sqrt { - {x^2} + 10x - 9}  - 2 + m > 0\)

Đặt \(\sqrt { - {x^2} + 10x - 9}  = t\) \(\left( {t \ge 0} \right)\), ta có bất phương trình

\(\begin{array}{l} - {t^2} + 2t - 2 + m > 0\\ \Leftrightarrow {t^2} - 2t + 2 - m < 0\\ \Leftrightarrow {\left( {t - 1} \right)^2} < m - 1\end{array}\)

Vì \(\sqrt { - {x^2} + 10x - 9}  \)\(= \sqrt {16 - {{\left( {x - 5} \right)}^2}}  \le 4\) nên với \(x \in \left[ {0;9} \right]\) thì \(t \in \left[ {0;4} \right]\)

Suy ra bất phương trình \({\left( {t - 1} \right)^2} < m - 1\) đúng với mọi \(t \in \left[ {0;4} \right]\)

Ta có: \(0 < t < 4 \Rightarrow t - 1 < 3\) \( \Leftrightarrow {\left( {t - 1} \right)^2} < 9\)

Suy ra \(m - 1 > 9 \Leftrightarrow m > 10.\)

Vậy \(m > 10\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.