Một phân xưởng được giao sản xuất \(360\) sản phẩm trong một số ngày nhất định. Vì phân xưởng tăng năng suất, mỗi ngày làm thêm được \(9\) sản phẩm so với định mức trên, nên trước khi hết hạn một ngày thì phân xưởng đã làm vượt số sản phẩm được giao là \(5\%\). Hỏi nếu vẫn tiếp tục làm việc với năng suất đó thì khi đến hạn phân xưởng làm được tất cả bao nhiêu sản phẩm.

Gọi \(x\) là số sản phẩm sản xuất trong một ngày theo định mức.

Điều kiện \(x > 0,x \in \mathbb {N}\).

Phân xưởng được giao sản xuất \(360\) sản phẩm nên số ngày hoàn thành theo dự định là \({{360} \over x}\) ngày

Phân xưởng tăng năng suất, mỗi ngày làm thêm được \(9\) sản phẩm so với định mức nên mỗi ngày xưởng làm được \(x+9\) sản phẩm.

Trước khi hết hạn một ngày thì phân xưởng đã làm vượt số sản phẩm được giao là \(5\%\) nên số sản phẩm làm được là: 360+360.5%=378 sản phẩm.

Số ngày làm 378 sản phẩm là \(\frac{{360}}{x} - 1\).

Lại có, mỗi ngày làm được x+9 sản phẩm, trong \(\frac{{360}}{x} - 1\) ngày làm được 378 sản phẩm

Nên ta có phương trình:

\(\begin{array}{l}
\left( {\frac{{360}}{x} - 1} \right).\left( {x + 9} \right) = 378\\
\Leftrightarrow \frac{{360 - x}}{x}.\left( {x + 9} \right) = 378\\
\Leftrightarrow \frac{{\left( {360 - x} \right)\left( {x + 9} \right)}}{x} = 378\\
\Rightarrow \left( {360 - x} \right)\left( {x + 9} \right) = 378x\\
\Leftrightarrow - {x^2} + 351x + 3240 - 378x = 0\\
\Leftrightarrow - {x^2} - 27x + 3240 = 0
\end{array}\)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 72\text{ ( loại ) } \hfill \cr
x = 45\text{ ( thỏa mãn ) } \hfill \cr} \right.\)

Thời gian giao hoàn thành kế hoạch là \({{360} \over {45}} = 8\) ngày.

Năng suất thực tế là 45+9=54 sản phẩm/ngày

Vậy nếu sản xuất theo thời gian đã định với năng suất mới thì số sản phẩm làm được là \(54.8=432\) sản phẩm.