Giải hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+1}+\sqrt{()x+1)(y-2))}+x+5=2y+\sqrt{y-2}

Điều kiện: \(\left\{\begin{matrix} x\geq -1 \\ x\geq 2 \end{matrix}\right.\)

Xét phương trình: \(\sqrt{x+1}+\sqrt{(x+1)(y-2)}+x+5=2y+\sqrt{y-2}\)

Đặt \(\left\{\begin{matrix} a=\sqrt{x+1}\geq 0 \\ b=\sqrt{y-2}\geq 0 \end{matrix}\right.\) ta được phương trình: \(a+ab+x+1=2y-4+b\)

\(\Leftrightarrow a^2-2b^2+ab+a-b=0\Leftrightarrow a^2-b^2+ab-b^2+a-b=0\)

\(\Leftrightarrow (a-b)(a+b)+b(a-b)+(a-b)=0\)

\(\Leftrightarrow (a-b)(a+2b+1)=0 \Leftrightarrow a=b\)

Từ Phương trình (1) ta có \(\sqrt{x+1}=\sqrt{y-2}\Leftrightarrow y=x+3\) thay vào phương trình (2) ta được

\(\frac{(x-8)(x+4)}{x^2-4x+7}=(x+1)(\sqrt{x+1}-3)\)

\(\Leftrightarrow \frac{(x-8)(x+4)}{x^2-4x+7}=\frac{(x+1)(x-8)}{\sqrt{x+1}+3}\)

\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=8 \\ \frac{x+4}{x^2-4x+7}=\frac{x+1}{\sqrt{x+1}+3} \end{matrix}\)

Tiếp tục giải phương trình 

\(\frac{x+4}{x^2-4x+7}=\frac{x+1}{\sqrt{x+1}+3}\)

\(\\\Leftrightarrow (x+4)(\sqrt{x+1}+3)=(x+1)(x^2-4x+7) \\ \Leftrightarrow ((x+1)+3)(\sqrt{x+1}+3)=((x-2)+3)(x^2-4x+4+3) \\ \Leftrightarrow (\sqrt{x+1})^2+3)(\sqrt{x+1}+3)=((x-2)^2+3)((x-2)+3)\)

Xét hàm số \(f (t)=(t^2+3)(t+3)=t^3+3t+3>0, t\geq 0\)

Do đó hàm số f(t) đồng biến trên \(\begin{bmatrix} 0;+\infty \end{bmatrix}\)

Từ \(f(\sqrt{x+1})=f(x-2)\Leftrightarrow \sqrt{x+1}=x-2\)

Giải phương trình

\(\sqrt{x+1}=x-2\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 2 \\ x+1=x^2-4x+4 \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 2 \\ x^2-5x+3=0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x=\frac{5+\sqrt{13}}{2}\)

+) Với \(x=8 \Rightarrow y=11\)

+) Với \(x=\frac{5+\sqrt{13}}{2} \Rightarrow y=\frac{11+\sqrt{13}}{2}\)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là:

\((8;11),(\frac{5+\sqrt{13}}{2};\frac{11+\sqrt{13}}{2})\)