Giải bất phương trình sau: \(\left( {{ {x}} - 3} \right)\sqrt {{{ {x}}^2} + 4} \le {x^2} - 9\)

Bất phương trình tương đương với \(\left( {x - 3} \right)\left[ {\sqrt {{x^2} + 4}  - \left( {x + 3} \right)} \right] \le 0.\) Từ đó tập nghiệm cần tìm là hợp các tập nghiệm của hai hệ bất phương trình sau :

\(\left( I \right)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 3 \ge 0}\\{\sqrt {{x^2} + 4}  \le x + 3}\end{array}} \right.\)

\(\left( {II} \right)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 3 \le 0}\\{\sqrt {{x^2} + 4}  \ge x + 3.\left( * \right)}\end{array}} \right.\)

Giải hệ (I) : \(\left( I \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 3}\\{{x^2} + 4 \le {x^2} + 6x + 9}\end{array}} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 3}\\{x \ge  - \dfrac{5}{6}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x \ge 3.\)                        (1)

Giải hệ (II) : Ta xét hai trường hợp :

- Trường hợp \(x ≤ -3\) : Dễ thấy mọi \(x ≤ -3\) là nghiệm.

- Trường hợp \(x > -3\) : Ta có

\(\left( * \right) \Leftrightarrow {x^2} +  4 \ge {x^2} + 6x + 9 \Leftrightarrow x \le  - \dfrac{5}{6}.\) Vậy trong trường hợp này, hệ (II) có nghiệm là \( - 3 < x \le  - \dfrac{5}{6}.\)

Do đó (II) \( \Leftrightarrow x \le  - \dfrac{5}{6}.\)            (2)

Từ (1) và (2) suy ra tập nghiệm của bất phương trình đã cho là :

\(S = \left( { - \infty ; - \dfrac{5}{6}} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right).\)