YOMEDIA
NONE

Chứng minh x/căn bậc 3(yz)+y/căn bậc 3(xz)+z/căn bậc 3(xy)>=xy+yz+zx

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x2 + y2 + z2 = 3. CMR \(\dfrac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\dfrac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\dfrac{z}{\sqrt[3]{xy}}\ge xy+yz+zx\)

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • Đỗ Phúc Lộc

    Bài này cũng dễ mà:

    Áp dụng BĐT Cô-si, ta có:

    \(y+z+1\ge3\sqrt[3]{yz}\)

    \(\Rightarrow\)\(\dfrac{y+z+1}{3}\ge\sqrt[3]{yz}\)

    \(\Rightarrow\)\(\dfrac{x}{\sqrt[3]{yz}}\ge\dfrac{3x}{y+z+1}\)

    \(\Rightarrow\)\(\sum\dfrac{x}{\sqrt[3]{yz}}\ge\sum\dfrac{3x}{y+z+1}\)

    Mà \(\sum\dfrac{3x}{y+z+1}=\sum\dfrac{3x^2}{xy+xz+x}\)

    Áp dụng BĐT Cauchy -Schwaz:

    \(\sum\dfrac{3x^2}{xy+xz+x}\ge\dfrac{3\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)+x+y+z}\)

    Mà:

    \(xy+yz+xz\le x^2+y^2+z^2\)(BĐT phụ)

    \(\Rightarrow\)\(2\left(xy+yz+xz\right)\le2\left(x^2+y^2+z^2\right)=6\)

    Áp dụng BĐT Bunhicopski:

    \(\left(x+y+z\right)^2\le3\left(x^2+y^2+z^2\right)=9\)

    \(\Rightarrow x+y+z\le3\)

    \(\Rightarrow2\left(xy+yz+xz\right)+x+y+z\le6+3=9\)

    \(\Rightarrow\)\(\dfrac{3\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)+x+y+z}\ge\dfrac{3\left(x+y+z\right)^2}{9}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\ge xy+yz+xz\left(ĐPCM\right)\)

    Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)x=y=z=1

      bởi Đỗ Phúc Lộc 23/10/2018
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 10

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON