YOMEDIA
NONE

Chứng minh (a+b)^5>=16ab căn((1+a^2)(1+b^2))

Cho \(a^2+b^2=2\) . CMR \(\left(a+b\right)^5\ge16ab\sqrt{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}\)

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • Ngô Việt Hưng

    Lời giải:

    Bài toán chỉ đúng cho \(a,b>0\). Nếu tồn tại $2$ số âm thấy ngay nó không đúng.

    Với điều kiện dương, BĐT cần CM tương đương với:

    \((a^2+b^2+2ab)^5\geq 256(ab)^2(1+a^2+b^2+a^2b^2)\)

    Đặt \(t=ab\Rightarrow 2t=2ab\leq a^2+b^2=2\Rightarrow 0< t\leq 1\)

    Cần CM \((2t+2)^5\geq 256t^2(3+t^2)\Leftrightarrow (t+1)^5\geq 8t^2(t^2+3)\) \((\star)\)

    Theo BĐT Cauchy thì \((t+1)^2\geq 4t\Rightarrow (t+1)^5\geq 4t(t+1)^3\)

    Theo tính chất bắc cầu ta chỉ cần chỉ ra

    \(4t(t+1)^3\geq 8t^2(t^2+3)\Leftrightarrow (t+1)^3\geq 2t(t^2+3)\)

    \(\Leftrightarrow (t-1)^3\leq 0\) (luôn đúng do \(t\leq 1\) )

    BĐT \((\star)\) được chứng minh. Bài toán hoàn tất

    Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=1\)

      bởi Ngô Việt Hưng 06/11/2018
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 10

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON