Chứng minh (1+b^2) +b/(1+c^2) +c/(1+a^2)>= 3/2

bởi Huong Duong 07/11/2018

giúp em làm bài toán này với

cho 3 số a,b,c >0 thỏa mãn a+b+c=3 Cmr a/(1+b2) +b/(1+c2) +c/(1+a2)>= 3/2

Câu trả lời (1)

  • Lời giải:

    Đặt \(A=\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\)

    Ta có \(A=(a-\frac{ab^2}{1+b^2})+(b-\frac{bc^2}{1+c^2})+(c-\frac{ca^2}{1+a^2})=3-\left ( \frac{ab^2}{1+b^2}+\frac{bc^2}{1+c^2}+\frac{ca^2}{1+a^2} \right )\)

    Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:

    \(A\geq 3-\left ( \frac{ab^2}{2b}+\frac{bc^2}{2c}+\frac{ca^2}{3a} \right )=3-\frac{1}{2}(ab+bc+ac)\)

    Cũng theo AM-GM

    \(9=(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)\Rightarrow ab+bc+ac\leq 3\)

    \(\Rightarrow A\geq 3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)

    Dấu $=$ xảy ra khi \(a=b=c=1\)

    bởi bùi thị hiền hiền 07/11/2018
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Mời gia nhập Biệt đội Ninja247

Gửi câu trả lời Hủy

Video HD đặt và trả lời câu hỏi - Tích lũy điểm thưởng

Các câu hỏi có liên quan