Chứng minh 1/(a+b+1)+1/(b+c+1)+1/(a+c+1) < 1 với abc=1 và a,b,c dương

bởi An Nhiên 07/11/2018

1/a+b+c +1/b+c+1/a+c+1<1 với abc=1 và a,b,c dương

Câu trả lời (2)

  • 1/(a+b+1) + 1/(b+c+1) + 1/(c+a+1) ≤ 1 
    <=> (a+b+1)(b+c+1) + (b+c+1)(c+a+1) + (c+a+1)(a+b+1) ≤ (a+b+1)(b+c+1)(c+a+1) 

    <=> (a+b)(b+c)+a+b+b+c+1 + (b+c)(c+a)+b+c+c+a+1 + (c+a)(a+b)+c+a+a+b+1 
    ≤ (a+b)(b+c)(c+a) + (a+b)(b+c) + (b+c)(c+a) + (c+a)(a+b) +a+b+b+c+c+a+1 

    <=> 2+2(a+b+c) ≤ (a+b)(b+c)(c+a) 
    <=> 2+2(a+b+c) ≤ (a+b+c)(ab+bc+ca) - abc 
    <=> 3 ≤ (a+b+c)(ab+bc+ca-2) 
    Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: 
    (a+b+c)(ab+bc+ca-2) ≥ 3.³√(abc) .[3³√(ab.bc.ca) -2] = 3 
    => đpcm 
    Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c=1

    vui

    bởi Nguyễn Phượng 07/11/2018
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Mời gia nhập Biệt đội Ninja247

Gửi câu trả lời Hủy

Video HD đặt và trả lời câu hỏi - Tích lũy điểm thưởng

Các câu hỏi có liên quan