YOMEDIA
NONE

Cho tam giác \(ABC\), có số đo ba góc \(A,B,C\) thỏa mãn điều kiện sau \(\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2} = \sqrt 3 \). Chứng minh rằng tam giác \(ABC\) là tam giác đều.

Cho tam giác \(ABC\), có số đo ba góc \(A,B,C\) thỏa mãn điều kiện sau \(\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2} = \sqrt 3 \).  Chứng minh rằng tam giác \(ABC\) là tam giác đều.

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • *) Trước hết ta chứng minh:

    \(\tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2} + \tan \frac{B}{2}\tan \frac{C}{2}\) \( + \tan \frac{C}{2}\tan \frac{A}{2} = 1\)

    Ta có:

    \(\begin{array}{l}A + B + C = \pi  \Rightarrow \frac{{A + B + C}}{2} = \frac{\pi }{2}\\ \Rightarrow \frac{{A + B}}{2} = \frac{\pi }{2} - \frac{C}{2}\\ \Rightarrow \tan \frac{{A + B}}{2} = \tan \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{C}{2}} \right)\\ \Leftrightarrow \tan \left( {\frac{A}{2} + \frac{B}{2}} \right) = \cot \frac{C}{2}\\ \Leftrightarrow \frac{{\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2}}}{{1 - \tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2}}} = \frac{1}{{\tan \frac{C}{2}}}\end{array}\)

    \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2}} \right)\tan \frac{C}{2}\\ = 1 - \tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2}\\ \Leftrightarrow \tan \frac{A}{2}\tan \frac{C}{2} + \tan \frac{B}{2}\tan \frac{C}{2}\\ = 1 - \tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2}\\ \Leftrightarrow \tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2} + \tan \frac{B}{2}\tan \frac{C}{2}\\ + \tan \frac{C}{2}\tan \frac{A}{2} = 1\end{array}\)

    *) Chứng minh bất đẳng thức \({\left( {a + b + c} \right)^2} \ge 3\left( {ab + bc + ca} \right)\)

    Ta có:

    \(\begin{array}{l}{\left( {a + b + c} \right)^2} \ge 3\left( {ab + bc + ca} \right)\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ca\\ \ge 3ab + 3bc + 3ca\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca \ge 0\\ \Leftrightarrow 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2bc - 2ca \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) + \left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right)\\ + \left( {{c^2} - 2ca + {a^2}} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} \ge 0\end{array}\)

    (BĐT cuối luôn đúng do \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\\{\left( {b - c} \right)^2} \ge 0\\{\left( {c - a} \right)^2} \ge 0\end{array} \right.\))

    Áp dụng bđt vừa chứng minh với \(a = \tan \frac{A}{2},b = \tan \frac{B}{2},\) \(c = \tan \frac{C}{2}\) ta được:

    \(\begin{array}{l}{\left( {\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2}} \right)^2}\\ \ge 3\left( {\tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2} + \tan \frac{B}{2}\tan \frac{C}{2} + \tan \frac{C}{2}\tan \frac{A}{2}} \right)\\ = 3.1 = 3\\ \Rightarrow {\left( {\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2}} \right)^2} \ge 3\\ \Rightarrow \tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2} \ge \sqrt 3 \end{array}\)

    Đẳng thức xảy ra khi \(\tan \frac{A}{2} = \tan \frac{B}{2} = \tan \frac{C}{2}\) hay \(A = B = C = \frac{\pi }{3}\).

    Vậy tam giác ABC đều (đpcm).

      bởi Khanh Đơn 17/07/2021
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON