Cho hàm số sau đây \(y = f\left( x \right) = 2{x^2} - mx + 3m - 2\) và \(y = g\left( x \right) = m{x^2} - 2x + 4m - 5\).Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để \(f\left( x \right) \ge g\left( x \right)\), \(\forall x \in \mathbb{R}\).

Theo đề bài, ta có:

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) \ge g\left( x \right)\,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - mx + 3m - 2\\ \ge m{x^2} - 2x + 4m - 5\,\,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - mx + 3m - 2 - m{x^2} \\+ 2x - 4m + 5 \ge 0\,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow \left( {2 - m} \right){x^2} + \left( {2 - m} \right)x - m\\ + 3 \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\end{array}\)

TH1 : \(2 - m = 0 \Leftrightarrow m = 2\)

Bất phương trình trở thành \( - 2 + 3 \ge 0 \Leftrightarrow 1 \ge 0\) (luôn đúng)

TH2 : \(2 - m \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 2\)

 Để\(\left( {2 - m} \right){x^2} + \left( {2 - m} \right)x - m + 3 \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 - m > 0\\\Delta  \le 0\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 2\\{\left( {2 - m} \right)^2} - 4.\left( {2 - m} \right).\left( { - m + 3} \right) \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 2\\ - 3{m^2} + 16m - 20 \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 2\\\left[ \begin{array}{l}m \ge \dfrac{{10}}{3}\\m \le 2\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m < 2\\m \ge \dfrac{{10}}{3}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m < 2\\m \le 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m < 2\end{array}\)

Kết hợp hai trường hợp trên, ta được \(m \le 2\)

Vậy \(m < 2\) thì \(f\left( x \right) \ge g\left( x \right)\), \(\forall x \in \mathbb{R}\).