AMBIENT

Cho a, b, c là ba số thuộc đoạn [0; 1]

bởi Bảo Lộc 06/02/2017

Help me!

Cho a, b, c là ba số thuộc đoạn [0; 1]. Chứng minh:
\(\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{a+c+1}+\frac{c}{a+b+1}+(1-a)(1-b)(1-c)\leq 1\)

ADSENSE

Câu trả lời (4)

  • Do vai trò a, b, c như nhau nên giả sử a \(\leq\)  b \(\leq\) c, khi đó:
    Đặt \(S=a+b+c+1\Rightarrow b+c+1=S-a\geq S-c\)
    \(a+c+1\geq S-c\)
    \(a+b+1\geq S-c\)
    Ta có 
    \((1-a)(1-b)(1+a+b)\leq 1 (*)\)
    \(\Leftrightarrow (1-a-b+ab)(1+a+b)-1\leq 0\)
    \(\Leftrightarrow-a^2-b^2-ab+a^2b+ab^2\leq 0\)
    \(\Leftrightarrow b(a+b)-a^2\leq 0\) đúng do \(a,b\in [0;1]\)
    Vậy (*) đúng
    Mà (*) \(\Leftrightarrow (1-a)(1-b)(S-c)\leq 1\)
    \(\Leftrightarrow (1-a)(1-b)\leq \frac{1}{S-c}\Leftrightarrow (1-a)(1-b)\leq \frac{1-c}{S-c}\)
    Do đó
    \(\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{a+c+1}+\frac{c}{a+b+1}+(1-a)(1-b)(1-c)\)
    \(\leq \frac{a}{S-c}+\frac{b}{S-c}+\frac{c}{S-c}+\frac{1-c}{S-c}\leq \frac{S-c}{S-c}=1\) đpcm

    bởi Huong Duong 09/02/2017
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Mời gia nhập Biệt đội Ninja247

Gửi câu trả lời Hủy

Video HD đặt và trả lời câu hỏi - Tích lũy điểm thưởng

Các câu hỏi có liên quan

YOMEDIA