Xét ba mệnh đề sau: (1) Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm x=x\(_0\) thì f(x) liên tục tại điểm đó.

Đáp án A

(1) Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm x=x\(_0\) thì f(x) liên tục tại điểm đó. Đây là mệnh đề đúng.

(2) Nếu hàm số f (x) liên tục tại điểm x=x\(_0\) ${\mathrm{}}_{}$ thì f(x) có đạo hàm tại điểm đó.

Phản ví dụ

Lấy hàm f(x)=|x| ta có D= R nên hàm số f(x) liên tục trên R.

Nhưng ta có 

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\mathop {lim}\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {lim}\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\left| x \right| - 0}}{{x - 0}} = \mathop {lim}\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{x - 0}}{{x - 0}} = 1}\\ {\mathop {lim}\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {lim}\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\left| x \right| - 0}}{{x - 0}} = \mathop {lim}\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{ - x - 0}}{{x - 0}} = - 1} \end{array}} \right.\)

Nên hàm số không có đạo hàm tại x = 0.

Vậy mệnh đề (2) là mệnh đề sai.

(3) Nếu f(x) gián đoạn tại x=x\(_0\)  thì chắc chắn f(x) không có đạo hàm tại điểm đó.

Vì (1) là mệnh đề đúng nên ta có f(x)  không liên tục tại x=x\(_0\)${\mathrm{}}_{}$ thì f(x) không có đạo hàm tại điểm đó.

Vậy (3) là mệnh đề đúng.